ГРАФИГІ МЕН ТАПСЫРУ МЕРЗІМІ 8 страница

7.2-сурет

Эйнштейннің ІІ постулаты бойынша, екі жүйедегі жарық жылдамдығы бірдей және с-ға тең. Сондықтан егер уақытта К жүйесінде сигнал А нүктесіне дейін жеткенше,

(5.6)

арақашықтық жүрсе, онда К жүйесінде жарық импульсі А нүктесіне жеткен мезетінде

(5.7)

мұндағы -жарық импульсінің К жүйесінде координаталар басынан А нүктесіне дейінгі жүрген уақыты. Теңдеулердің айырымынан мынаны аламыз: . К жүйесіне қатысты К жүйесі орын ауыстырады. Сондықтан , онда , Яғни К және К жүйелеріндегі уақыт санауы әртүрлі - уақыт санағы салыстырмалы.

Эйнштейн салыстырмалылық теориясында Галилейдің классикалық түрлендірулері, постулаттарды қанағаттандыратын Лоренц түрлендірулеріне ауыстырылатынын көрсетеді. Лоренц түрлендірулерін мына формулалар түрінде жазуға болады:

(5.8)

мұндағы

Келтірілген теңдеулер симметриялы және тек -ның алдындағы таңбамен ғана ажыратылады. Лоренц түрлендірулерін талдай келіп, мынадай қорытындылар жасауға болады:

Егер болса, яғни , онда Лоренцше түрлендірулер Галилейше түрлендіру формуласына айналады. Сөйтіп салыстырмалы жылдамдық жарықтың вакуумдағы жылдамдығынан кем болса ғана Галилейше түрлендіруде мағына бар. Егер >c болса, онда жоғардағы формулалар бойынша x , t және x, t шамалары жалған шамалар болады. Бұл вакуумдағы жарық жылдамдығынан зор жылдамдықпен қозғалу мүмкін емес деген қағидаға сай келеді.

Сонымен қатар, кеңістік және уақыт түрлендіруі тәуелсіздік емес, себебі координат түрлендіру заңына уақыт енеді, ал уақыт түрлендіру заңына кеңістік координаттары, яғни кеңістік және уақыт өзара байланыстылығы орнатылады. Эйнштейн теориясы, кеңістіктер-уақыттар координаттар үздіксіз байланысын қарастырып, кеңістік –уақыт төрт өлшемін құрайды.

Түрлендірудің инварианттары: Лоренцше түрлендіру формулаларынан маңызды бірнеше қорытындылар шығады. Енді солардың кейбіреулеріне тоқталайық.

1. Оқиғалардың бір мезгілдігі. Мысалы, К жүйесінде координаталары х₁ және х₂ нүктелерінде t₁ және t₂ мезеттерде бір-бірден екі оқиға болған болсын. К^/ жүйесінде сонда оларға х₁ және х₂ келеді. Егер олар К жүйесінде бір нүктеде (х₁= х₂ ) және бір мезетте болса, сонда формулалар бойынша х₁ = х₂ және t₁ = t₂ . Яғни, бұл құбылыстар кез-келген инерциалдық санақ жүйесінде де бір мезгілде бір орында (бір нүктеде) болады.

Ал, егер оқиға кеңістікте әр нүктеде х₁ ≠ х₂ , бірақ бір мезгілде t₁= t₂ болса, онда (5.8) формулаларға сәйкес К^/ жүйеде Лоренц түрлендіруінше

Демек, ,

Сонымен бұл құбылыстар К санақ жүйесінде бір мезгілде болмайды, кеңістіктегі орындары бөлек болады.

2. Түрліше жүйелердегі дене ұзындықтарын салыстыру.Бұрынғыша инерциялық К және К санақ жүйелерін алайық. К жүйесі К жүйесіне қатысты жылдамдықпен қозғалып бара жатсын. Сонда х осінің бойымен орналасқан бір қатты шыбықтың К жүйесіндегі ұзындығы . К жүйесіндегі ұзындығы болады, мұндағы х₁ пен х₂ бұл шыбықтың екі ұшының уақытқа байланысты өзгермейтін координаталары. Уақыт өзгермеген жағдайда Лоренцше түрлендірудің (7.8) формулалары бойынша:

сонда немесе (5.9)

мұндағы <1, сондықтан l <l Сөйтіп бір жүйеге қатысты қозғалып бара жатқан қатты шыбықтың сол жүйеде өлшенген ұзындығы l оның өзімен салыстырғанда тыныш тұрған жүйеде өлшенген ұзындығынан l кем болады.

3.Түрліше жүйелердегі оқиғалар ұзақтылықтарын салыстыру. Жоғарыда айтылғандай екі санақ жүйесінен алайық.Мысалы К санақ жүйесіне қатысты бір тыныш тұрған нүктеде оқиға болған болсын. Сонда бұл оқиға осы К жүйесінде бір нүктеде х басталып, сол нүктеде бітетін болсын, сонда оның ұзақтығы τ =t₂ -t₁ болады. Мұндағы t₁ мен t₂ – оқиғаның К – жүйе сағаты бойынша х нүктеде басталып және сол нүктеде аяқталған мезеттері. Ал, оқиға болып жатқан нүкте К санақ жүйесіне қатысты жылдамдықпен орын ауыстырсын. Сонда бұл К жүйе оқиғаның басына және аяғына сәйкес келетін уақыт мезеттері t₁ мен t₂ Лоренцше түрлендірудің (7.8) формуласы бойынша былай өрнектеледі:

Сонда оқиғаның осы, К жүйесіндегі ұзақтылығы

немесе (5.10)

мұндағы <1, сондықтан τ’>τ

τ уақыт аралығы К жүйесі сағаты (тыныш тұрған сағат), ал t уақыт аралығы К жүйе сағаты (қозғалыстағы сағат) бойынша өлшенген. Сөйтіп қозғалған сағат тыныш тұрған сағаттан гөрі баяу жүреді. Осы τ мен τ’ арасындағы іліктестікті сипаттайтын өрнектің дұрыс екендігін қазір эксперимент көрсеіп отыр. Жоғарыда көрсетілген және өрнектерден санақ жүйесінің жылдамдығы жарықтың жылдамдығынан с артық болмайтыны көрінеді, өйткені әрқашан <1

Жылдамдықтарды қосу теоремасы. Бұрын айтылғандай К санақ жүйесі К санақ жүйесіне қатысты х осі бойымен жылдамдықпен қозғалып бара жатсын. Бір дене К жүйесінде сол х осінің бойымен u_x жылдамдықпен қозғалып бара жатқан болсын. Сонда бұл дененің К санақ жүйесіне қатысты жылдамдығы u_x қандай болады, соны есептелік.

Бұл дененің К жүйесінде t уақыт мезетіндегі координатасы x болса, оның жылдамдығы , К жүйеге қатысты жылдамдығы , мұндағы х пен t –К жүйедегі координатасы мен мезет. Егер Лоренцше түрлендіру формулалары дұрыс келеді десек, онда (5.8) формулалар бойынша

, бұдан

яғни немесе (5.11)

Осы (5.11) өрнек жылдамдықты қосу теоремасы деп аталады. Егер пен әрқайсысы жарық жылдамдығынан әлде қайда аз болса,онда өрнек жылдамдықтары классикалық, механикаша қосу, өрнегіне айналады:

,

Мұнда қосылушы және жылдамдықтар жарықтың с жылдамдықтан кем болады. Егер =c болса, онда =c, яғни салыстырмалық теорияның екінші постулатына сай жарықтың с вакуумдағы жылдамдығы санақ жүйесінің қозғалыс жылдамдығына тәуелді емес.

Материалдық нүктенің релятивистік динамикасының негізгі заңы. Қозғалыстағы релятивистік бөлшектердің массасы олардың жылдамдықтарына тәуелді.

(5.12)

Сонымен, әр түрлі инерциалдық санақ жүйесінде бір бөлшектің массасы әр түрлі. Бір инерциалдық санақ жүйесінен екіншіге ауысқанда табиғаттың барлық заңдары инвариантты екенін бекітетін Эйнштейннің салыстырмалылық принципінен Лоренц түрлендірулеріне қарасты физикалық заңдардың теңдеулерін инвариантты шарты шығады: .

Динамиканың негізгі Ньютон заңы Лоренцтің түрленуіне қатысты инвариантты болады, егер оның оң жағында релятивистік импульстің уақыт бойынша туындысы тұрса. Материалдық нүктенің релятивистік динамикасының негізгі заңының түрі мынадай болады

немесе (5.13)

мұндағы (5.14)

материалдық нүктенің релятивистік импульсі. Кеңістіктің біртектілігіне байланысты релятивистік механикада релятивистік импульстің сақталу заңы орындалады: тұйық жүйенің релятивистік импульсі сақталады, яғни уақыт өтуіне байланысты өзгермейді.

Масса және энергияның өзара байланыс заңы.Релятивистік бөлшектің кинетикалық энергиясын табамыз. Өткен классикалық механикада белгілі элементар орын ауыстырғандағы материалдық нүктенің кинетикалық энергиясының өсімшесі, осы орын ауыстырғандағы күш жұмысына тең

немесе (5.15)

мұндағы ескере отырып және (5.13) –шы теңдеуді (5.15) –ке қойып, мына теңдеуді аламыз:

екенін ескере отырып, осы теңдеуді және (5.12) формуланы түрлендіріпмынадай қорытындыға келеміз:

(5.16)

яғни бөлшектің кинетикалық энергиясының өсімшесі оның массасының өсімшесіне пропорционал. Тыныштықта бөлшектің кинетикалық энергиясы нольге тең, ал оның массасы тыныштықтағы массасына тең, ендеше (5.16) теңдеуді интегралдап, аламыз

немесе (5.17)

осы теңдеу, егер классикалыққа айналады . Эйнштейннің (5.16) теңдеуін қорыта келіп, бұл тек кинетикалық энергия үшін әділетті емес, сонымен қатар толық энергияға да қатысты. Кез келген массаның өзгеруі материалдық нүктенің толық энергиясының өзгеруімен сипатталады:

Осыдан А.Эйнштейн дененің толық энергиясы мен оның массасының арасындағы байланыстың универсиалды екенін көрсетеді:

(5.18)

(5.17) және (5.18) теңдеулер табиғаттың фундаментальды заңын көрсетеді - масса мен энергияның арасындағы өзара байланыс заңы: жүйенің толық энергиясы оның массасы мен вакуумдағы жарық жылдамдығының квадрат көбейтіндісіне тең. Толық энергияға сыртқы күш өрісіндегі дененің потенциалдық энергиясы кірмейді. (5.18) заңды, (5.17) ескере отырып, былай да жазуға болады:

осыдан , тыныштықтағы дененің энергиясы ( ) болады.

Бақылау сұрақтары:

1. Салыстырмалықтың механикалық принципінің физикалық мағынасы неде?

2. Арнайы салыстырмалық теория постулаттарының негізі неде?

3. Дененің жылдамдығы санақ жүйесінің қозғалу жылдамдығына тәуелді ме?

4. Лоренц түрлендіруін жазыңдар және түсіндіріңдер. Қандай жағдайда олар Галилей түрлендіруіне ауысады?

5. Лоренц түрлендіру негізінен кеңістік және уақыт жөнінде қандай қорытынды жасауға болады?

6. Әртүрлі санақ жүйесінде дененің өлшемдері және уақиғаның ұзақтығы үшін арнайы салыстырмалы теориядан қандай салдарлар шығады?

7. Релятивистік динамика заңының негізгі түрі қандай? Ол Ньютон механика заңы негізінен айырмашылығы неде? Релятивистік импульс сақталу заңы.

Әдебиеттер: НӘ1,4,6; ҚӘ2,5; ӘН1

№6 дәріс

Тұтас орта механикасының элементтері

Тұтас орта ұғымы. Сұйықтар мен газдардың жалпы қасиеттері. Идеал және тұтқыр сұйық. Бернулли теңдеуі. Сұйықтардың ламинарлық және турбуленттік ағысы. Тұтқырлық. Стокс, Пуазейль формулалары.