Напряжения и линии скольжёйий

2) при у — — xctgS (на линии OA) i₀a— 0 или

х_лу (cos²5 — sin² 8) 4- (а_у — <г_х) sin а • cos а = 0. (7,49)

Функция напряжения <f може! быть найдена в виде полинома третьей С1енени:

ср = Ау* + Вху^г + Cx'iv + Dx>. (8,49)

Здесь величины А, В, С и D — некоторые постоянные коэфициен- ты, которые следует найти из условий (6,49) и (7,49)

После диференцирования (8,49) на основании (5,49) имеем:

о_к — ЬАу + 2Вх,

a_v = 2Cy + 6Dx, (9,49)

^ = -2 (By + Cx)~ix Внося в (9,49) условия (6,49), при х = у будем иметь: <з_х = 6 Ах -}- 2 Вх — — аух, о_у = 2 Сх -f 6 Dx = — -{X, '_яу = -2(Вх ЬСх) - -рс = 0. Откуда после простейших действий получим

С- 4-(а — 1)4-ЗЛ,

D = т

Подсивляя зттем (9,49) в (7,49) и внося значения В, С и D из (10,49), получим при у = — x-ctgS уравнение, содержащее одно неиз­вестное А, решая которое, найдем-

А — —оя-4-Ye. (^п'⁴⁹>

6 (1 + ctg 8) cos 28 б ' ^v

Внося затем (11,49) в (10,49) и подставляя в (9,49), получим:

(1 + с tg'S) cos 2Ь -1а){у-х)-щх,

_ 7 cos² 8 , .

— TfXctg"S) CCS 28 — —

______ у cos' 8 , _ .

~^ку~ (1+ctg 8) со» 25 ~ ^x> >

или, обозначая для краткости,

cos^ 5

(] -f ctg а) cos2S '

- т—чъщфщчтп иягчш» ""f(JT»"<t «ЧЩ/ЩЩ ip^

будем иметь окончательно:

— e)tv — —а?*,

(12,49)

Нетрудно убедиться, что полученное решение тождественно удов­летворяет уравнениям равновесия и совместности (2,49) и (3,49).

С помощью формул (12,49) могут быть найдены компоненты на­пряжения в любой точке области (б) откоса.

Если а—угол, составляемый направлением алгебраически большего главного нормального напряжения с осью х, то на основании извест­ных из теории упругости формул имеем:

', = '-j-A-cos 2с, |

G_y = o — A-cos2a, (13,49)

T^ = £-cos2a, j

i де

--- ^gJC+'у _ »i 4- «2 „ и _ «1 — »а _ _т

a------ pj---- 2 И /с =■ ^ — "max •

Для начала пластической деформации может быть принята гипоте­за главных касательных напряжений, согласно которой

2 й = о„ * (а)

где a_s — предел текучести при простом растяжении.

В формулы (13,49) удобно ввести угол [5, составляемый направле­нием первого главного касательного напряжения с осью х и равный

jJ = а -j- 45° .

Выполняя это, получим:

— ^а -f- k • sin 2 р, = а — /г • Sin 2 [$, = — /г-cos 2 ^,

откуда

= (14,49)

lj.ii

Подставляя в (14,49) значения компонентов напряжения (12,49), получим:

(¹⁵'⁴⁹)

Линии скольжения плоского напряженного состояния — кривые, касательные, к которым в каждой точке плоскости х, у совпадают с направлениями главных касательных напряжений в этих точках Семейства линий скольжения пересекают друг друга под углом 90°. Уравнение первого семейства линий скольжения имеет вид

U-teP, 06,49)

а второго семейства:

^- = tg(90° + f3)=:-ctgf3. (17,49)

Из (15,49) можно вычислить tg{3 в функции координат х и у и, подставив в (16,49) и (17,49), получить диференциальные уравнения се­мейств л,1ний скольжения, которые затем следует интегрировать. Однако эти операции сопровождаются крайне громоздкими выклад- камй. Поэтому удобнее их выполнять каждый раз применительно к заданным условиям. В частности интегрирование диференциальных уравнений следует вести приближенными способами, например по Мелентьеву и т. п.

Для точек нч линии ОВ(у = х) формула (15,49) дает

tg2p = -oo,

откудт

Р-+Х-

Аналогичное значение угла получим и для всех точек области (а). Таким образом, линии скольжения в этой области представляют­

ся двумя семействами прямых, наклоненных к оси х под углами ~Т ^и —Т (Ф^иг- 36). Эти прямые в области (б) становятся кривы­ми (16,49) и (17,49). Условие (а) отвечает для таких кривых началу пластической деформации, т. е. переходу откоса в неустойчивое состояние.

§ 50. Зависимость между геометрическими элементами откоса

Рассмотрим простейший случай [60], когда поверхность обруше­ния является плоскостью с углом наклона к горизонту 0 (фиг. 37). Предельный угол откоса, отвечающий углу 0, обозначим через а.

Для момента предельного равновесия тангенциальная составляющая веса призмы ABC— T—Q sin 0 равна силе сцепления по плоскос­ти АС плюс сила трения. Первая равна с-(АС), а вторая —

N tg » = Q ■ cos 0 • tg <р,

где — угол трения,

Таким образом, для момента предельного равновесия имеем:

Q • sin « = с (АС) + Q ■ cos ft • tg <р, 0-sin(e --f)

с-- ■

(/IQ-coscp

Подставляя сюда значение веса призмы АБС:

T7S Н

Q = sin (а-- 0) и АВ

Sill а

получим

_ _v Н • sin (а — в) • Sin (в — ср)

' 2 COS !р • Sin а

ИЛИ

г __ Н ■ sin (а — 0) • sm (В — tf)

7 2 sin а • COS 'f

Обозначим через я₁ = я —0_} откуда в = я — я,. Внося это в (а),

получим:

откуда

Эта формула дает связь между вертикальной высотой откоса Я и пре­дельным значением угла его заложения я при известных значениях k_max и ср. Из формулы следует, что с увеличением угла а высота Н уменьшается, и наоборот.

При я=90°, г. е. при вертикальном откосе, получим:

26„ -COS а

"о------- (^[2]>⁵°)

sin» —-₂—

—значение так называемой предельной высоты свободного стояния вертикального обнажения породы.

Допустим теперь, что массив сложен из двух горизонтальных сло­ев с разными значениями у и с. Обозначим мощность верхнего слоя
через h_x и глубину выемки в нижнем слое через Л₂ (фиг. 38). Теоре­тически каждый из этих слоев должен иметь свой предельный угол заложения — а. Для верхнего слоя значение этого угла' приближенно может быть установлено с помощью формулы (1,50). Что же касает­ся нижнего слоя, го он может быть рассматриваем как нагруженный весом верхнего слоя. Эгу нагрузку приближенно можно считать 1 авномернораспреде- _f

ленной, т. е. считать __________________ О D_____ ___________

откос BD вертикаль- Г

ным BD', а это рав­носильно увеличе­нию веса призмы об­рушения в нижнем слое в

1де А₀—приведенная высота на­грузки, рав-

Ti

ь

ная Aj'

Вес призмы ABC будет:

Qi = b

Iде ВМ длина перпендикуляра, опущенного из вершины В треу­гольник! ABC на основание АС Но так как

Лп-sln I

2 Sin (a.j — ji₂) • sin a.

Вес рассматриваемой призмы с учетом нагрузки сверху согласно указанному выше, будет:

, _ h + /«-япр.

2 Sin (а₂ — P₂)-Sin а₂ ' ,

Г

Рассматривая момент предельного равновесия призмы ABC с этим, увеличенным весом и поступая аналогично, как и в выше рассмотрен­ном случае дг>я массива гз однородной породы, получим: .

^2к2Ыax)'^{Sln 9}2'COS <р₂

2 ■h_l

Tj ^[3]

Sin²

Сравнивая с (1,50), видим, что предельная вертикальная высота откоса в нижнем слое равна таковой же, как и в случае однородного массива, минус удвоенная приведенная высота верхнего слоя. Этот последний можно рассматривать состоящим из нескольких горизон­тальных слоев, и тогда <',срмула (3,50) распространяется и на случай массива из многих горизонтальных слоев.

wr^*^ -гпгчщг-"- fp"^™»»V'111 "З*

Формулы (1,50) — (3,50) отвечают условиям предельного равнове­сия призмы обрушения. Для использования их в целях проверки устой­чивости откосов в соответствующих реальных условиях _f надлежит ввести в расчеты коэфициент запаса устойчивости откоса т Для эюто вместо £_тах и <р в э-ти формулы нужно подставлять значения:

k-.Js»^, «h=arctg4(/=tg«p).

mj

Коэфициент запаса устойчивости откоса принимается в претелах т = 1,5 — 3,0 и больше, в зависимости от условий.

В табл. 24, составленной по данным [60] и др., приведены средние значения физических характеристик для грунтов и связных горных пород. Однако при расчетах для реальных условий следует пользо­ваться результатами лабораторных испытаний данных пород. При этом рекомендуется учитывать увеличение среднего объемного веса породы за счет насыщения водою за время продолжительных дож­дей и т. п. Если пористость данной породы п, то объемный вес ее по насыщении водою будет:

7 = Го + лДо,

где Д„ — объемный вес воды и ^о — объемный вес высушенной породы

Числовой пример 1

Верхняя часть мощного крутопадающего (70°) пласта разрабатывается почво- уступно на глубину Н = 50 м (фиг. 39). Породы висячего бока имеют: = 2,0 т м^ч, с, = 8 т/м* н ^,8=45°, а породы лежачего бока: f₃ = 2,5 т/м*, с₂ = 60 т/л«* и у., =. = 45°. Коэфициент устойчивости т = 2.

Устанавливаем расчетные значения величин^- <р_и sp₂, и k₂. Они будут следую­щие

tg45°

• = 27°

= if₂ = arc tg Cl

= 2,0, k,=

mi i

Угол действительного откоса а, для пород висячего бока при Н*т50 м нахо­дим по формуле < 1 ,-60)

2-2-sin «j-cos 27°

50 = ■

aj - 27°

sin²

откуда a_t3s5b°

Если отдельным уступам придать углы действительного откоса 80*, то верти­кальная высота каждого уст>па не должна превышать

2 2-sin 80°-cos 27°

80° — 27°

sin² ■

Отсюда число >ступов в висячем боку 50:17,5 ^ 3. Условия производства ра­бот должны внести сюда соответствующие коррективы.

Фиг. 39. Схема к расчету уступов (числовой пример).

Лежачему боку может быть придан откос под углом 70°, так как глубина раз­работки (Н =50 м) меньше, чем высота свободного стояния вертикального обнаже­ния данной породы. Действительно, по формуле (2,50) имеем-

2-12 cos 27°

90°-27^е sm-i „

Числовой пример J

Выемкой обнажаются четыре горизонтальных слоя пород с характеристиками, шачения которых приведены в табл. 25. Принимая т=2, требуется установить значения углов откоса для этих слоев.

Как и в примере 1, находим расчетные значения величин <р и k следующими:

Но формуле (1,50) значение угла at] для слоя Для слоя И по формуле (3,50) имеем:

2-2-sin а,.cos 27'

10 =-

о,, - 27°

sin²

и a., ^ 64°.

Аналогично для слоя 111

2-6,2-sin • cos 27'

20 =

«8 - 27°

sin-

и at_s=s79^J.

И, наконец, для слоя IV

2-4.1-sln сц-cos 27°

sin²

;"56 .

§ 51. Более точные формулы

Изложенный в § 50 способ определения геометрических элементов откоса явля­ется приближенным, основанным на допущении прямолинейности линий скольжения в плоской задаче. Исследования последнего времени, принадлежащие главным образом

В. В. Соколовскому [61], позволяют решить задачу более точно.

Исходными для реше­ния плоской задачи явля­ются два уравнения равно­весия:

основании гипотезы постоянства потенциальной энергии — k--

(1,51) и (2,51) описывают пластическое равновесие при плоском деформированном состоянии тела. Система этих уравнений относится к гиперболическому типу. Она имеет два семейства характеристик (линий скольжения), ортогональных в плоскости \у. Эти уравнения могут быть приведены к двум линейным уравнениям, называемым каноническими (для случая, когда оба семейства линий скольжеНия криволинейны или же, как показал С. А. Христанович [62], допускают интегралы, включающие произвольную функцию, если одно из семейств линий скольжения представляет пря­мые линии).

В В. Соколовский предложил общий метод решения основных задач о предель­ном равновесии сыпучих тел при различных краевых условиях и с использованием в качестве исходных уравнений (1,51) и (2,51). В частности, им получена для отко­са, подверженного действию равномерно распределенной нагрузки р (фиг. 40), сле-
к)щая формула для определения формы поверхности откоса, находящегося в пре­дельном равновесии и с юженного из грунта с идеальным сцеплением

2k ^cos {ik-^iy ,

•In ----- ---- —------ r----- . (3,51)

Ш-Ч

Здесь k — сила сцепления. Формула (3,51) позволгет получить ряд полезных с ледствий.

Рели откос вертикален (х = 0), то из (3,51) имеем ( Р 1 l 1 ^ f Р

cos + ;== cos

f

Отк\да

и

ik 2 р у = — • - (4.51)

I I

Эта формула по«оляет найти предельную высот\ вер>икальиого откоса, нагр\ лени )го равномериораснределенной нагружой.

Если последняя отсутс!вует (р = 0), то формула (4,51) принимает крайне пр >- стой вид

4k

У = — (« + 1) (5.51)

Вообще /ке форма откоса при отсутствии внешне"! нагрузки может быть оп­ределена при р — 0 по формуле (3,51)