Пластическое состояние

Подобно предельной поверхности главных нормальных напряжений может быть построена и предельная поверхность пластической де­формации. Всг точки этой поверхности будут изображать предель­ные напряженные состояния, при переходе за которые данное тело начнет пластически деформироваться. Важным является установление условия, связывающего напряжения при наступлении такого напряжен­ного состояния. Здесь на основании опытных данных принимают сле­дующие две гипотезы [46]

1) гипотезу главных касательных напряжений:

°з ⁼ 2ft = <i_s (1,38)

и 2) гипотезу постоянства потенциальной энергии:

- + К - °з)^а + (°S - = 8k» = 2a*. (2,38)

При этом имеется в виду диаграмма на фиг. 6 и условие o^s.^'a-

Первая гипотеза выражает постоянство главного касательного нап­ряжения, действующего в плоскости, делящей пополам угол между крайними главными нормальными напряжениями, а вторая гипотеза — постоянство касательного напряжения, действующего в плоскости ре- *ультирующего сдвига. Это напряжение равно:

^•/•ТТЗТ

и таким образом условие (2,38) принимает вид:

= (3.38)

Однако для условия (2,38) более употребительна связь между главным касательным напряжением т, и пределом текучести при простом растяжении з_б _ Она получается следующим образом.

На осн< вании известных соотношений условие (2,38) можно напи­сать в таком виде:

В системе прямоугольных координат т^ т„ и t₃ условие (а) пред­ставляет предельную поверхность пластической деформации в виде

сферы. При чистом сдвиге т₂ = т₃ = ^- и условие (а) приводится к виду:

•=1=7Г * = /Н⁰-⁵⁷⁷ • ⁽⁴'³⁸⁾

В настоящее время выбор между условиями (1,38) и (2,38) сделан. Первое условие принимается для определения момента начала пла­стической деформации. Когда же этот процесс охватит некоторую облгсть, то вступает в силу второе условие.

Изложенное относилось к случаю идеального упругого пластиче­ского тела (фиг. 6). Если же учитывать упрочнение, то условие (2,38) принимает вид [46]:

=<», • Fit «■),

где Yn — относительный сдвиг между нормалью к площадке резуль­тирующего сдвига и направлениям действия напряжения т_я. Функция F определяется из опыта на простое растяжение.

Заметим, что уравнение прочности (3,37) для пластического тела легко приводится к условию (2,38). Действительно, положив R_x—R₃ = — з,, получим:

откуда

(³1 - ³.)² + («! ~ ^Зз)³ + (³2 - ^Зз)² < Ч .

В прямоугольных координатах з,, з₂ и о„ это условие представля­ет собою круговой 2 • & j цилиндр с осью, наклоненной к ко­ординатным осям под равными углами (направляющие косинусы рав-

1 \ ны -7=

V зу-

Опытные данные

Возьмем опьпные данные R_x и R₂ из табл. 16 и, пользуясь ими, вычислим по формулам (1,37), (2,37) и (4,37) теоретические значения предела прочности на сдвиг R'₃. Полученные результаты в сопоста­влении с опытными данными /?₃ поместим в табл. 20. Из этой таб­лицы видно, что наибольшее расхождение между теоретическими и опытными значениями R_s получается для теории Мора и наимень­шее расхождение — для теории, отвечающей параболоиду вращения. Среднее место занимает теория, отвечающая круговому конусу. При­мечательно, что для теории, отвечающей параболоиду вращения, расхождение между теоретическими и опытными значениями R_s по- лучаегся все меньшим но мере уменьшения в породе минеральных примесей и приближения ее к вполне однородной по составу. При этом для такой однородной породы, как мрамор, теоретическое и опытное значения /?₃ полностью совпадают.

Таблица 2)

В табл. 21, составленной подобно табл. 17, даны сопоставления 1еоретических и опытных значений R₃, взятых из некоторых лите­ратурных источников. Из этой таблицы видно, что всюду имеются расхождения между теоретическими и опытными данными. Однако все же лучше совпадает с опытом теория, отвечающая параболоиду

вращения. Эта последняя имеет исходным наиболее общий критерий- энергию. Теория же Мора имеет более частный критерий—предельные значения касательных напряжений. Поэтому таким телам, как горные породы, ближе и отвечает более общий критерий. Чем более однород­ной по составу является порода (мрамор), тем все более лучшим оказывайся приближение опытных данных к теоретическим.

Выводы из изложенного

Энергетические теории прочности, рассмотренные в §'37, форму­лированы с определенными ограничениями. Так, например, теория прочности, отобра-чаемая парабалоидом вращения, предполагает, что тело является сплошным, однородным и изотропным, что имеет мес­то линейная зависимость удельной потенциальной энергии от сред­него значения трех главных нормальных напряжений, что упругое состояние тела сохраняется вплоть до разрушения и что, наконец, имеет место однородное напряженное состояние. Подобные ограни­чения позволяют получать сравнительно простые аналитические фор­мулировки теорий прочности. 'Однако это весьма суживает область применения столь общего критерия прочности, как энергия. Поэтому вероятность совпадения опытных данных с теоретическими пони­жается.

Из всего вышеизложенного следует, что аналитически подробная формулировка теории прочности горных пород едва ли вообще воз­можна. Прежде всего отпадает обширный класс сложных горных пород. Для них типична неоднородность напряженного состояния, которая может быть учтена, повидимому, только с помощью статис­тических методов. То же по существу относится и к простым гор­ным породам, включающим значительное количество минеральных примесей. Поэтому формулировка теорий прочности горных пород может иметь только общий характер, а именно: разрушение породы при данных напряженном состоянии и других условиях определяется количеством энергии, поглощенной единицей объема породы. В каж­дом отдельной случае это количество энергии устанавливается опы­том.

Поиск по сайту: