Условие: Механизм (рис. 46) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами. Определить скорости точек В и Е, угловую скорость звена DE, а также ускорение точки B и угловое ускорение звена АВ.
AD = DB, l1 = 0,4 м, l2 = 1,2 м, l3 = 1,4 м, ω1 = 2 с-1,
ε1 = 7 с-2 (направления ω1 и ε1 – против хода часовой стрелки).
Найти: vB, vE , ω2, аВ, ε3.
Решение:
1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис.47; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).
2. Определяем vB. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти vB, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление ω1, можем определить численно:
м/с; .
Направление найдем, учитывая, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль его направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим
и м/с.
Рис. 47. Схема к определению скоростей точек плоской фигуры
3. Найдем . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С3. Вектор перпендикулярен отрезку С3D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции:
Чтобы вычислить С3D и С3В, заметим, что ΔАС3B – прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что С3В = AB·sin30° = 0,5·АВ = =BD. Тогда ΔBС3D является равносторонним и С3В = С3D. В результате:
м/с; .
Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О2Е, вращающемуся вокруг О2, то . Тогда, восстанавливая из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С2 стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С2. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. 47 видно, что , откуда С2Е = C2D. Составив теперь пропорцию, найдем, что
, м/с.
4. Вычислим ω2. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) и = 0,69 м, то
c-1.
5. Определяем (рис. 48, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить , где численно
м/с2
м/с2
Вектор направлен вдоль AO1, а – перпендикулярно АО1; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. 48). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и .
Рис. 48. Схема к определению ускорений точек плоской фигуры
Для определения воспользуемся векторным равенством:
.
Изображаем на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно . Найдя ω3 с помощью построенного МЦС С3 стержня 3, получим:
c-1 и м/с2.
Таким образом, из величин, входящих в векторное равенство, выражающее , неизвестны только числовые значения и ; их можно найти, спроецировав обе части данного равенства на какие-нибудь две оси.
Чтобы определить , спроецируем обе части векторного равенства на направление ВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим:
.
Подставив в полученное равенство числовые значения всех величин, найдем, что
м/с2.
Так как получилось > 0, то, следовательно, вектор направлен как показано на рис. 48.
6. Определяем ε3. Чтобы найти ε3, сначала определим . Для этого обе части векторного равенства, выражающего , спроецируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим:
Подставив в полученное равенство известные числовые значения, найдем, что = -3,58 м/с2. Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. 48.