Теорема о скоростях точек плоской фигуры

Движение плоской фигуры складывается из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как и полюс и вращательного движения вокруг полюса.

Покажем, что скорость любой точки плоской фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

Дана плоская фигура, расположенная в плоскости Оху (рис. 35).

Рис. 35. Плоская фигура в плоскости Оху

Положение полюса А определяется радиусом-вектором . Тогда положение точки В это фигуры можно определить как векторную сумму:

,

где – вектор, определяющий положение точки В относительно полюса А.

Продифференцировав данное равенство по времени, получим выражение для скорости точки В: ,

где – скорость полюса А,

– скорость точки В относительно полюса А.

Так как , то меняется только по направлению. Это означает, что точка В совершает вращение вокруг полюса А. Поэтому и . Таким образом, получаем формулу, выражающую теорему о скоростях точек плоской фигуры:

скорость любой точки плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки, принятой за полюс, и скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса.

Следовательно, скорость некоторой точки В плоской фигуры изображается диагональю векторного параллелограмма (построенного при точке В), в котором его сторонами являются векторы , перпендикудярный отрезку АВ и сонаправленный с угловой скоростью ω, и (рис. 36).

Рис. 36. К доказательству теоремы о скоростях точек плоской фигуры

Модуль скорости точки В (или любой другой точки плоской фигуры) можно найти следующими способами:

· графически (по правилу треугольника или параллелограмма);

· аналитически, используя теорему косинусов:

.

· способом проекций: ,

где v_Bx, v_By – проекции скорости точки В на заранее выбранные оси х и у декартовой системы координат.

Теорема о равенстве проекций скоростей точек

Модуль скорости точки В можно также определить, используя теорему о скоростях точек плоской фигуры, спроецировав векторное равенство на прямую АВ (рис. 37):

Проекции скоростей двух точек А и В твердого тела на прямую АВ, соединяющую эти точки, равны (рис. 37).

Рис. 37. К доказательству теоремы о равенстве проекций скоростей

Поиск по сайту: