Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по отношению к системе отсчета Ох1у1z1(рис. 58). Установим вид уравнений, определяющих закон рассматриваемого движения. Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси ,которые при движении тела будут перемещаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела в системе отсчета будет известно, если будем знать положение полюса А, т.е. его координаты х1А, у1А, z1А, и положение тела по отношению к осям , определяемое, как и в случае движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, углами Эйлера φ, ψ, θ (см. рис. 54). На рис. 58 углы Эйлера не показаны, чтобы не затемнять чертеж. Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчета в любой момент времени, имеют вид:
Рис. 58. Определение уравнений движения свободного твердого тела
Рис. 59. Схематичное представление свободного движения твердого тела
Установим теперь геометрическую картину рассматриваемого движения. Первые три из представленных уравнений определяют то движение, которое тело совершало бы при постоянных углах φ, ψ, θ, т. е. при поступательном движении тела вместе с полюсом А. Последние же три уравнения определяют движение, которое происходило бы при постоянных значениях координат х1А, у1А, z1А, т. е. когда точка А неподвижна. Но движение тела вокруг неподвижной точки слагается из поворотов вокруг мгновенных осей вращения. Отсюда заключаем, что в общем случае движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс А со скоростью , и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 59). Такой будет, например, картина движения любого непоступательно перемещающегося в воздухе тела: брошенного камня, самолета, проделывающего фигуры высшего пилотажа, артиллерийского снаряда и т. д.
Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость и ускорение полюса A, определяющие скорость и ускорение поступательной части движения, а также угловая скорость и угловое ускорение вращения вокруг полюса. Значения этих величин в любой момент времени можно найти по уравнениям движения свободного твердого тела. Заметим, что если за полюс принять другую точку тела, например, точку В (см. рис. 58), то значения и окажутся отличными от и (предполагается, что тело движется не поступательно). Но если связанные с телом оси, проведенные из точки В (на рис. 58 не показаны), направить так же, как и в точке А, то значения углов φ, ψ, θ, а следовательно, и связанные с ними уравнения движения не изменятся. Поэтому здесь, как и в случае плоского движения, вращательная часть движения тела, в частности значения ω и ε, от выбора полюса не зависят.
Движение свободного твердого тела может быть, в частном случае, плоскопараллельным.
Скорости и ускорения точек тела. Скорость любой точки М тела в рассматриваемом движении слагается, как и в случае плоскопараллельного движения, из скорости полюса А и скорости ,которую точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А. При этом, так как движение тела вокруг полюса А происходит как движение вокруг неподвижной точки, то значение определяется формулой , где ,т. е. .
Таким образом,
, или .
Аналогично, вектор ускорения любой точки М тела:
,
где величина ,т.е. ускорение, которое точка М получает придвижении вместе с телом вокруг полюса А, определяется равенством
,
в котором ,а вектор будет равен
.
Таким образом, ускорение любой точки свободного твердого тела можно определить построением многоугольника ускорений.