Пусть точка М движется одновременно относительно неподвижной системы координат О1х1y1z1 и подвижной системы координат Охyz. Положение исследуемой точки относительно неподвижной системы координат определяется радиусом-вектором (рис. 64), который находится по формуле:
,
где – радиус-вектор начала отсчета подвижной системы координат относительно неподвижной; – радиус-вектор, определяющий положение точки М в подвижной системе координат.
Рис. 64. К доказательству теоремы о сложении скоростей
Радиус-вектор можно разложить на составляющие:
Продифференцировав формулу, определяющую абсолютное положение точки М по времени, получим:
, или
.
Очевидно, что данное выражение определяет абсолютную скорость точки М. Подставив в него формулы Пуассона, получим:
,
где – скорость точки в относительном движении.
Переносная скорость состоит из скорости полюса О подвижной системы отсчета и вращательной скорости вокруг мгновенной оси ОР, проходящей через этот полюс:
.
Таким образом, абсолютная скорость точки М будет равна:
.
Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей (рис. 65).
Рис. 65. Определение абсолютной скорости точки
В общем случае модуль абсолютной скорости вычисляется по следующей формуле:
. ,
Така как абсолютная скорость определяется диагональю параллелограмма, построенного из переносной скорости и относительной скорости .
Теорема о сложении ускорений при поступательном переносном движении
Рассмотрим сложное движение точки М, когда подвижная система отсчета Оxyz движется поступательно (рис. 64). При этом орты , , являются постоянными величинами по модулю и по направлению.
Определим абсолютное ускорение точки М:
.
Т.к. относительная скорость равна:
,
а производные по времени от единичных векторов подвижной системы координат равны:
(по условию),
то относительное ускорение точки М будет равно:
.
Определим переносное ускорение точки М:
, , т.к. подвижная система отсчета движется поступательно.
Отсюда, абсолютное ускорение точки М равно: .
При поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений.