Согласно рассмотренному ранее, движение плоской фигуры складывается из поступательного и вращательного движений. Покажем, что ускорение любой точки плоской фигуры складывается геометрически из ускорений, которые точка получает в каждом из этих движений.
Положение точки В (согласно рис. 35) можно определить по формуле:
,
где – радиус-вектор полюса А, – вектор, определяющий положение точки В относительно полюса А.
Согласно теореме о скоростях точек плоской фигуры:
, или .
Очевидно, что ускорение точки В будет равно:
,
где – ускорение полюса А. Т.к. и исходя из свойств плоской фигуры, можно утверждать, что –ускорение точки В в ее вращательном движении вокруг полюса А.
Ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения этой точки в ее врщении вместе с фигурой вокруг полюса:
.
Следовательно, ускорение некоторой точки В плоской фигуры изображается диагональю векторного параллелограмма (построенного при точке В), в котором его сторонами являются и (рис. 40).
Рис. 40. Построение вектора ускорения точки В
При решении задач вектор раскладывают на составляющие:
,
где – касательная составляющая ускорения ( и направлен в сторону вращения на рис. 41, 42);
– нормальная составляющая ускорения ( всегда направлен из точки В к полюсу А).
Модуль полного ускорения определяют по формуле:
.
Рис. 41. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай ускоренного вращения)
Рис. 42. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай замедленного вращения)
При графическом определении ускорения точки В удобно пользоваться углом , тангенс которого находят из выражения:
.
Если известны траектории полюса A и точки B, ускорение которой надо найти, то ускорения этих точек для удобства вычисления раскладывают на нормальные и касательные составляющие. Тогда теорема об ускорениях точек плоской фигуры примет развернутый вид:
.
Таким образом, для определения ускорения произвольной точки В необходимо знать ускорение какой-либо точки плоской фигуры А, принимаемой за полюс, угловую скорость w плоской фигуры и ее угловое ускорение e в данный момент времени.
Модуль ускорения точки В (или любой другой точки плоской фигуры) можно найти следующими способами:
· графически;
· аналитически (способом проекций): ,
где аВх, аВу – проекции ускорения точки В на заранее выбранные оси х и у прямоугольной системы координат.