Скорости и ускорения точек тела

Так как тело, движущееся вокруг неподвижной точки, имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения ОР, вокруг кото­рой происходит элементарный поворот с угловой скоростью (рис. 55), то вектор скорости какой-нибудь точки М тела будет определяться в этот момент равенством ,где – радиус-вектор, проведенный в точку М из неподвижной точки О. Вектор направленперпендикулярно плоскости МОР,проходящей через точку М и ось ОР,в сторону поворота тела.

Численно ,где h = МС – расстояние точки М до мгновенной оси.

Геометрически скорость любой точки М тела в данный­ момент времени можно найти, зная в этот момент скорость какой-нибудь точки А тела и направление скорости другой точ­ки В этого тела. Пусть и направление известны. Проведем тогда через точку А плоскость 1, перпендикулярную вектору (рис. 56). Как было показано ранее (см. рис. 55), мгновенная ось ОР должна лежать в этой плоскости.

Рис. 55. Вектор скорости точки исследуемого тела

hM

Рис. 56. Распределение линейных скоростей точек исследуемого тела

Но одновременно ось ОР должна лежать и в плоскости 2, проведенной через точку В перпендикулярно вектору . Следовательно, прямая, по которой пересекутся эти плоскости, и будет мгновенной осью вращения ОР. Теперь, определив расстояние h отточки А до оси ОР, найдем угловую скорость ω тела в данный момент времени: . После этого значение скорости любой точки М тела находится по формуле , а вектор будет направлен перпенди­кулярно плоскости ОМР (h_M – расстояние от точки М до оси ОР).

В частном случае, когда известно, что скорость какой-то точки тела равна в данный момент времени нулю, прямая, проходящая через эту точку и неподвижную точку О тела, будет мгновенной осью вращения и расчет существенно упростится.

Аналитически скорость определяют по ее проекциям на какие-нибудь координатные оси. Найдем проекции вектора на оси Охуz, жестко связанные с телом и движущиеся с ним (см. рис. 55); эти оси имеют то преимущество, что в них координаты х, у, z точки М будут величинами постоянными. Так r_x = x, r_y = y, r_z = z, то по известной формуле векторной алгебры

Отсюда, разлагая определитель по элементам первой строки, учитывая, что и что, следовательно, коэффициенты при , , в этом разложения должны равняться , , соответственно, получим:

Эти формулы, также как и определяющие проекции вектора на подвижные оси Oxyz, называют формулами Эйлера. Каждую из них можно тоже получить из предыдущей формулы с помощью круговой перестановки букв x, y, z.

В частном случае эти формулы справедливы и при вращении тела вокруг неподвижной оси z. Так как при этом и , то для такого случая

, , .

Определим теперь ускорение точки М. Из равенства , дифференцируя его по времени, найдем

Так как , а , то окончательно

.

Ускорение называют еще вращательным, а ускорение – осестремительным ускорением точки М. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор (рис. 57), а по модулю , где h₁ – расстоя­ние от точки М до вектора . Вектор же , перпендикулярный одно­временно и , будет направлен вдоль МС (рис. 57), причем по модулю , так как .

Заметим, что в отличие от результатов, полученных ранее, здесь не будет вообще вектором касательного ускорения точки М (по касательной направлен вектор , а направление вектора будет вообще другим); следовательно, и вектор не будет вектором нормального ускорения точки М.

Поиск по сайту: