Аналитическое конструирование регуляторов (АКР)

Аналитическое решение задачи об оптимальной стабилизации линейных стационарных объектов при квадратичном функционале качества было предложено А. М. Летовым, которым были указаны пути преодоления трудностей решения краевых задач. Это направление получило название аналитического конструирования регуляторов. Благодаря ясной постановке задачи и конструктивным результатам данный метод стал распространенным инструментом синтеза оптимальных управлений для различных классов объектов. Одновременно с А. М. Летовым исследования в этом направлении проводились Р. Калманом и в зарубежных источниках получили название линейно-квадратичной оптимизации. Поэтому задача АКР еще называется задачей Летова-Калмана. Каждый из упомянутых подходов имеет свои особенности, однако оба решения приводят к аналогичным результатам, что свидетельствует о корректной постановке задачи синтеза.

Рассмотрим процедуру аналитического конструирования регуляторов для случая линейных стационарных объектов в постановке А. М. Летова.

Пусть возмущенное движение обобщенного объекта n-го порядка описывается системой линейных или линеаризованных дифференциальных уравнений возмущенного движения в форме Коши

, (8.65)

где b_ik, m_i – постоянные коэффициенты.

Среди множества кусочно-гладких функций, подчиненных ограничению

(8.66)

необходимо найти оптимальное управление U(η_k), осуществляющее перевод системы (8.65) из начального положения в начало координат таким образом, чтобы функционал качества

(8.67)

принимал наименьшее значение.

Первоначально эта задача была сведена к задаче Лагранжа на условный экстремум. С этой целью система (8.65) представляется в виде

, (8.68)

и вводится в рассмотрение функционал

(8.69)

где λ_i(t) – неопределенные множители Лагранжа.

Затем путем решения уравнений Эйлера определяются экстремали η_i(t), λ_i(t) функционала (8.69). Уравнения Эйлера для функции L(η, U, λ, t) имеют вид

; (8.70)

(8.71)

Из уравнения (8.71) определяется оптимальное управление как функция неопределенных множителей Лагранжа

(8.72)

В результате подстановки (8.72) в (8.68) рассматривается система 2n уравнений с 2n неизвестными η_i(t), λ_i(t)

;

(8.73)

Для решения этой системы дифференциальных уравнений не­обходимо определить 2n корней характеристического уравнения сис­темы (8.73)

(8.74)

которое обладает тем свойством, что если μ - любой его корень, то корнем будет число – μ. Для обеспечения устойчивости замкну­той системы (8.65) с управлением (8.72) в расчет принимаются n корней с отрицательной вещественной частью, а остальными n кор­нями, лежащими в правой полуплоскости, пренебрегают.

После этого общее решение системы (8.73) определяется в ви­де суммы экспоненциальных функций

, (8.75)

где – миноры i-го или (n+i)-гo элемента первой строки оп­ределителя (8.74), C_k – произвольные постоянные.

Для определения алгоритма оптимального управления в функ­ции фазовых координат системы (8.65) необходимо выразить нео­пределенные множители Лагранжа λ_i через переменные η_i. Это осуществляется путем исключения из системы (8.75) экспоненци­альных функций . В результате оптимальное управление приобретает вид

. (8.76)

Управление (8.76) найдено без учета ограничений (8.66). В замкнутой области, подчиненной условию (8.66), искомое оптималь­ное управление определяется выражением

(8.77)

Выражение (8.77) имеет более компактную форму записи

, (8.78)

где sat() – это функция, равная аргументу, когда он по модулю меньше единицы, и являющаяся знаковой функцией в противном случае.

Решение задачи АКР можно осуществить с использовани­ем принципа максимума, для чего система (8.65) должна быть преобразована к виду

(8.79)

и введена дополнительная координата η₀, удовлетворяющая соот­ношению

.

После этого составлена сопряженная система

(8.80)

и определена функция Гамильтона

(8.81)

Оптимальное управление, минимизирующее функционал (8.67), доставляет максимум функции (8.81) и определяется из ус­ловия

откуда с учетом того, что ,

(8.82)

Таким образом, оптимальное управление зависит от неизвест­ных пока функций ψ_k и может быть выражено через фазовые коор­динаты объекта управления, если определить зависимость ψ_k(η_i). Для этого необходимо к системе (8.79) с учетом (8.82) присоеди­нить сопряженную систему (8.80)

(2.83)

Система уравнений (8.83) идентична системе (8.73) и даль­нейший ход решения ничем не отличается от рассмотренного выше. В результате определяется алгоритм оптимального управления (8.78).

Рассмотрим процедуру аналитического конструирования регу­ляторов в постановке Р. Калмана, использовавшего метод дина­мического прог-раммирования.

Оптимальное управление , принадлежащее классу ку­сочно-непрерывных функций, подчиненных ограничению (8.66), и доставляющее минимум функционалу

(8.84)

на траекториях движения системы (8.65), должно удовлетворять решению основного функционального уравнения Беллмана в частных производных

(8.85)

где S – функция Беллмана, которая при синтезе оптимальных управ­лений по минимуму функционала качества (8.84) однозначно может быть заменена функцией Ляпунова, т.к. уравнение (8.85) удовлетво­ряет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости.

Функция Ляпунова V(η) для системы линейных дифференци­альных уравнений (8.65) представляет собой положительно-определенную квадратичную форму

(8.86)

или в матричном виде

,

коэффициенты которой удовлетворяют критерию Сильвестра.

Продифференцировав основное функциональное уравнение Беллмана (8.85) по U, определим оптимальное управление, достав­ляющее минимум функционалу (8.84) на траекториях движения сис­темы (8.65):

(8.87)

Матрица V является стационарным решением дифференциального уравнения Риккати

(8.88)

Из всех решений уравнений (8.88) следует выбрать такие, которые удовлетворяют критерию Сильвестра, т.к. только в этом случае обеспечивается выполнение теоремы А. М. Ляпунова об асимптотической устойчивости. Отыскание оптимального управления связано с необходимостью интегрирования матричного уравнения (8.88), избежать которого возможно, если принять матрицу V стационарной. В этом случае коэффициенты матрицы V определяются в результате численного решения матричного уравнения Риккати

(8.89)

Матричное уравнение (8.89) представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнении относительно такого же количества неизвестных коэффициентов v_ik функции Ляпунова (8.86). Если в результате решения (8.89) эта функция найдена, то оптимальное управление с учетом ограничения (8.66) принимает окончательный вид

(8.90)

Поиск по сайту: