Уравнение вынужденных колебаний

Вынужденными называются колебания, которые происходят под действием внешней периодической силы. В этом случае частота колебаний не определяется параметрами самой системы, а задается внешним источником. Для груза на пружине уравнение движения может быть получено формальным введением в уравнение ( 8-8) еще одной - внешней периодической силы F(t) = F₀sin wt :

+ mg - k (x +x) + F₀sin wt ; ( 9-1 )

после преобразований и обозначений, аналогичных прошлой лекции, получим:

f₀ sin wt, ( 9-2 )

где f₀ = Остальные обозначения сохраняют свой смысл. Т.к. груз колеблется с частотой вынуждающей силы, решение дифференциального уравнения ( 9-2 ) может быть записано в следующем виде: x(t) = A sin( wt + j). Появление фазового сдвига между колебаниями груза и внешним воздействием связано с определенной инерционностью системы, реагирующей на внешнее воздействие с некоторым опозданием. Однако, для упрощения последующих выкладок, удобнее изменить начало отсчета сдвига фаз: пусть колебания груза происходят по закону x(t)=
=Asinwt, а внешняя сила получает некоторое опережение по фазе, т.е.f₀ sin(wt -j) =

= f (t) или заменяя j на (- y) , f (t) = f₀ sin(wt +y)

Тогда неизвестной величиной в выражении x(t) = Asinwt остается только амплитуда колебаний. Для ее определения используем векторный способ решения уравнения (9-2). Вычислим последовательно первую и вторую производные от х(t) и

подставим эти производные в ( 9-2): = ; ; после приведения подобных получим:

2bwА f0   y   A( -w2) Рис.35. Графическое решение уравнения (9-3).

. ( 9-3 ) Вспоминая, что колебания можно представлять в векторном виде, рассмотрим уравнение ( 9-3 ) как векторное: два вектора, стоящие в его левой части в сумме дают вектор в правой части (см.рис.35). Из рисунка по теореме Пифагора следует: . Тогда , ( 9-4 )

и . ( 9-5 )

Из найденного выражения для амплитуды вынужденных колебаний ( 9-4 ) видно, что величина А зависит от частоты вынуждающего воздействия. Для нахождения экстремального значения этой амплитуды найдем производную знаменателя и приравняем ее к нулю: 4( , откуда следует, что «экстре-мальное» или резонансноезначение частоты определяется как:

. ( 9-6 )

А А рез     2Dw   w wрез Рис.36. Резонансная кривая.

Если частота внешнего воздействия может изменяться, то в тот момент, когда ее значение совпадает с wрез , знаменатель ( 9-4 ) становится минимальным, а амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины. На практике очень часто наблюдается, что колеблющаяся система обладает слабым затуханием и b << w0 . В этом случае wрез » w0 , т.е. значение резонансной частоты совпадает с собственной частотой сис-темы. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний до максимума, когда частота внешнего воздействия приближается к собственной частоте колебаний называется резонансом.Изменение амплитуды вы-

нужденных колебаний в области частот, близких к резонансной - резонансная кривая - показана на рис.36. Чтобы оценить относительное изменение амплитуды при резонансе, необходимо знать величину амплитуды на двух частотах - на резонансной и на частоте, достаточно далекой от w _рез. Рассматривая (9-4) нетрудно за-
метить, что такой «далекой» частотой удобно выбрать w 0.В этом случае А₀= .
На резонансной частоте при условии, что b << w₀ и w _рез » w₀ , амплитуда колебаний равна

, поэтому отношение выбранных амплитуд = Q, т.е. амплитуда при резонансе увеличивается в Q раз ( Q - добротность системы). При достаточно высокой добротности смещение отдельных частей системы может превышать пределы допустимых деформаций, что приведет к разрушению системы. Особенно опасны такие явления там, где разрушение колеблющейся системы может повлечь за собой гибель людей, - например, на механическом транспорте. Вращение винтов, валов с определенной частотой может вызвать резонансные колебания корпусов самолетов, судов и машин. Чтобы предотвратить подобные явления, конструктора вынуждены заранее тщательно рассчитывать как собственные частоты транспортных средств, так и возможные частоты, возникающие при различных режимах работы двигателей.

Важной характеристикой резонансной кривой является так называемая ширина кривой. Шириной резонансной кривой называют область частот, близких к резонансной частоте, на которых относительное уменьшение «реакции» системы на внешнее воздействие не превышает 30% ( точнее в 1/ раза ) относительно

« реакции» на резонансной частоте (см. рис.36). Степень задаваемого ослабления носит субъективный характер и связана со слухом человека. Многочисленные измерения показали, что человек « на слух» различает громкости различных источников звука, если их амплитуды отличаются на 30%. Если громкости отличаются на меньшую величину, то человек воспринимает как одинаковые. Другими словами, все звуки при их резонансном усилении, лежащие в области ширины резонансной кривой, будут казаться человеку звуками с одинаковой громкостью. Это важно учитывать при конструировании и изготовлении музыкальных инструментов.

Волны.

Волной принято называть распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Изменения величины могут носить как периодический, так и непериодический характер. Для того, чтобы эти изменения могли распространяться в некоторой области пространства, необходимо наличие некоторых условий; в частности, в каждой точке рассматриваемой области физическая величина должна иметь определенное значение ( принято говорить, что величина имеет полевой характер). Кроме того должна осуществляться взаимосвязь изменения физической величины в одной точке пространства с изменением этой же величины в соседних точках. Скорость распространения изменения определяется как природой изменяемой величины, так и свойствами среды, в которой распространяется это изменение. При этом определенную роль играет направление колебаний в волне. Если направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, то такие волны называют продольными. Если же колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то такие волны являются поперечными.Если относительное изменение величины (т.е. изменение, деленное на саму величину) мало по сравнению с единицей, то такое изменение называют возмущениемфизической величины. Примером распространения возмущения

v t = 0 X   vt t = t Х x   Рис.37. Распространение волны.

могут служить волны на поверхности воды, возникающие при бросании в воду камешка. Образовавшиеся искажения поверхности воды (см. рис 37) начнут распространяться во все стороны, образуя своеобразные кольцевые структуры. Возникшая волна достигнет некоторой точки, отстоящей на расстояние х от места попадания камня в воду через время t = , где v - скорость

распространения возмущения по поверхности воды. Пусть в точке попадания камня в воду профиль образовавшегося возмущения является некоторой функцией от времени f (t). Ясно, что в любой точке поверхности, куда доходит образовавшееся возмущение, величина f (t) будет зависеть не только от времени, но также и от расстояния, однако для упрощения предположим, что возмущение сохраняет свою форму вне зависимости от пройденного расстояния. Тогда в любой точке поверхности, отстоящей от начальной точки на расстояние х, профиль возмущения f(t) будет изменяться во времени с некоторым запаздыванием на величину t = x/v , т.е. аргументом функции f(t) станет величина t - х/v ). Независимость величины возмущения от координаты означает, что f(t) = f(t - х/v ) . Волны, для которых имеет место последнее равенство называются плоскими. Если в начальной точке возмущение изменяется по гармоническому закону, то такая волна называется синусоидальной. Синусоидальная плоская волна записывается в таком виде:

f (х, t) = Аsinw(t - = Аsin (wt - ) = Asin (wt - kx), ( 9-7 )

где - так называемое волновое число, a величина называется длиной волны. Аргумент синуса в уравнении ( 9-7 ) определяет фазу волны F (x,t). Поверхность, соединяющая все точки, фазы которых одинаковы, называется волновой поверхностью или фронтом волны. Если волна плоская, то фронтом волны является плоская поверхность. Волна, распространяющаяся во все стороны от точечного источника, называется сферической; очевидно, что для такой волны волновая поверхность представляет собой сферу. Если на какой-либо поверхности фаза постоянна, т.е. Ф(x,t) = const , скорость перемещения координаты, для которой фаза постоянна можно определить дифференцируя условие постоянства фазы: = 0 , откуда

v_фаз = , ( 9-8 )

т.е. скорость распространения волны совпадает со скоростью распространения постоянной фазы. Направление колебаний в распространяющейся волне может совпадать с направлением волны - в этом случае волна называется продольной, но может быть и так, что распространение волны происходит в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой совершаются колебания; тогда волны называются поперечными. Например, распространение звука - это продольные волны.
Примером поперечных волн могут служить волны на поверхности воды.

Энергия волны.

Распространение синусоидальной волны в пространстве сопровождается переносом энергии; в этом легко убедиться, вспомнив о разрушительной силе ударной волны при взрывах. Известно также, что волны морского прибоя способны разрушать крепчайшие каменные набережные. При изучении колебаний было установлено, что энергия колебательного движения пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому можно считать, что и в любом выбранном малом объеме пространства в области существования волны сосредоточена колебательная энергия, величина которой также пропорциональна квадрату амплитуды колебаний в волне. Для количественной характеристики энергии колебательного движения в волне обычно относят величину этой энергии к единице объема среды, через которую проходит волна. В этом случае принято говорить о плотности колебательной энергии w. Т.к. волна связана с «переносом» колебаний в пространстве, причем скорость этого «переноса» равна скорости распространения волны v, то плотность «перенесенной» энергии Á через единичную площадку в единицу времени равна:

Á = v w. ( 9-9 )

Из ( 9-9 ) видно, что величина Á должна быть вектором, направление которого совпадает с направление скорости. Впервые этот вектор был введен профессором
Московского Университета Н.А. Умовым, поэтому вектор Á принято называть вектором Умова.

Также как колебание произвольной формы можно представить в виде суммы

гармонических составляющих, так и любую несинусоидальную волну можно представить как сумму синусоидальных волн различных частот. В определенных условиях эти синусоидальные составляющие могут взаимодействовать между собой. В результате этого амплитуды составляющих волн с одними определенными частотами могут уменьшиться, тогда как амплитуда других составляющих возрастает. В целом это приводит к тому, что несинусоидальная волна может существовать довольно долго. Впервые такую волну в английских речных шлюзах наблюдал Д.С. Рассел в 1834 г. Он назвал это явление большой уединенной волной (по- английски - это great solitary wave ). Второе слово этого названия теперь вошло в обиход для обозначения устойчивых волновых структур - солитонов.

§ 9-4. Упругие волны в твердом теле.

х1 х2   f1 f2 Х     x1 x2     (х1+x1) (х2+x2) Рис.38.Деформациив стержне.

Пусть имеется однородный стержень. Направим ось Х вдоль стержня и выберем два сечения стержня, координаты которых (см.рис.38) равны х1 и х 2 соответственно так, что между ними оказывается отрезок стержня длиной l0 = x2 - x1= Dх. Под действием вне-шних сил в стержне произойдут упругие деформации15, так что в новом - деформированном состоянии- выбранные сечения имеют координаты ( х1+x1 ) и ( х2+x2 ), т.е. первое сечение сместилось на величину

x₁, а второе- на x₂. Длина выбранного отрезка теперь равна (х₂+x₂) - (х₁+x₁) = l₀ +
+(x₂- x₁) = l₀ + Dl, поэтому величина относительной деформации отрезка равна:

e = = . ( 9-10 )

Чтобы написать уравнение движения для выделенного отрезка стержня необходимо вычислить вторую производную смещения по времени. Как видно из выражения ( 9-7), выражение для распространяющейся волны зависит от двух переменных, поэтому вычисление производной от функции f (x,t) должно происходить несколько иначе, чем в случае одной переменной. Производную от функции f (x,t) по одной из двух переменных можно вычислять так же, как и в случае функции одной переменной, считая вторую переменную при этом постоянной, но эта производная называется частной производной. Например, если

f(x,y)= x⁵ y ⁵, то x⁴ y⁵, x⁵ y⁴ ( здесь и далее наклонные ¶ означают знак частной производной).

С учетом этого для бесконечно малого отрезка величина относительной деформации получается формальным предельным переходом к бесконечно малым величинам. Тогда уравнение ( 9-10 ) приобретает такой вид:

e = ( 9-11 )

Если по стержню распространяется продольная упругая волна, то в нем действуют попеременно внутренние силы растяжения и сжатия. Выбирая длину отрезка достаточно малой можно добиться, чтобы на его концы действовали одинаковые
силы - сжатия или растяжения. Пусть для определенности это будут силы растяжения f₁ и f₂ ( см. рис.38). Второй закон Ньютона для элемента длины Dх можно написать, используя теорему о движении центра масс:

D . ( 9-12 )

Силы упругого растяжения представляем с помощью закона Гука:

e = , ( 9-13 )

где Е - модуль упругости модуль Юнга), S - площадь сечения стержня, а - величина относительной деформации. Величина s = f/S называется упругим напряжением; масса Dm = rSDx , где r - плотность стержня. Если смещение центра масс x_ц.м. , то уравнение ( 9-12 ) становится таким:

rSDx .

Деля обе части последнего равенства на на величину объема SDx, получаем:

.
При переходе к бесконечно малым величинам последнее уравнение становится уравнением для производных:

. ( 9-14 )

Правую часть ( 9-14 ) выразим через закон Гука ( 9-13 ), переходя к бесконечно малым элементам :

s = eЕ = Е ; .

С учетом последнего соотношения из ( 9-14 ) получаем:

. ( 9-15 )

Соотношение ( 9-15 ) называется волновым уравнением.Хотя оно получено для частного случая продольных упругих волн, оно имеет достаточно общий вид. Его можно получить сравнением вторых производных любой функции по координате и времени соответственно, если эта функция зависит от аргумента вида a = t - .

Тогда первые производные функции сложного аргумента равны

= и соответственно, а вторые производные равны:

= = = : (9-16)

и

= ; (9-17)

где

a = t - ; ; . Сравнивая (9-16) и (9-17), получим:

= ,

откуда следует, что скорость распространения продольных упругих волн равна:

.

Таким образом решением волнового уравнения являются функции от аргумента
a = t - . Эти функции характеризуют плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х.

Поиск по сайту: