Энергетические соотношения в колебательных процессах

Для груза, совершающего гармонические колебания, значение кинетической энергии mv²/2 находится прямой подстановкой в величину кинетической энергии выражения для скорости колебательного движения, определяемой выражением

( 8-5):

Е_кин = . ( 8-13 )

Максимальное значение этой энергии, очевидно, равно

( 8-14 ) и достигается в момент, когда тело проходит положение равновесия. Пройдя это положение тело продолжает двигаться по инерции и вызывает деформацию пружины. При этом кинетическая энергия движущегося тела переходит в потенциальную энергию деформированной пружины Е_пот ( см. (6-10))12 :

Е_пот = . ( 8-15 )

Максимальное значение этого вида механической энергии равно:

. ( 8-16 )

При незатухающих колебаниях , поэтому имеет место сохранение механической энергии: . В этом случае суммарная энергия сохраняет свою величину в любой момент времени ( выражения ( 8-13 ) и ( 8-15 )):

, ( 8-17)

где учтено, что sin² a + cos² a = 1 и .

Если колебания являются затухающими, за каждый период колебаний суммарная энергия колеблющегося тела уменьшается на величину работы против сил

трения. В этом случае колеблющееся тело или любая система, в которой происходят колебания, характеризуется так называемым качеством или добротностью системы Q, которая определяется как способность системы к превращениям одного вида механической энергии в другой (т.е. кинетической в потенциальную или наоборот). Количественно добротность определяется ( с точностью до коэффициента 2p) как отношение максимальной энергии упругой деформации (или максимальной кинетической энергии колеблющейся системы) к средней величине

потерь энергии в системе за период. Известно, что среднее значение любой переменной величины < у > за период определяется соотношением :

< у > = .

Мгновенное значение силы вязкого трения F_трен= b bw₀A cos(w₀t +j), тогда среднее значение работы < А_трен > за единицу времени против этой силы равно:

< А_трен > = 13 .

Выразим cos²(w₀t + j) через функцию двойного угла: cos² a = (1+cos2a) и подставим его в выражение для < А_трен > :

< А_трен > = = , ( 8-18)

поскольку значение второго интеграла в ( 8-18) равно нулю (среднее значение за период любой гармонической функции равно 0, т.к. эта функция половину периода положительна, а половину - отрицательна).

Очевидно, что за весь период Т на преодоление силы трения будет затрачена энергия W_потер = < А_трен > Т, и добротность колебательной системы может быть определена как:

, ( 8-19)

где . Из выражения ( 8-19) видно, что добротность системы определяется ее упругими, инерционными и диссипативными14 свойствами. Можно сказать также, что добротность - это число, показывающее за сколько периодов колебаний вся энергия, запасенная в системе, будет превращена в работу против сил трения, т.е. в тепло.

Как правило, добротность механических систем довольно высока. Здесь уместно вспомнить о звучании музыкальных инструментов: отдельная нота может звучать несколько секунд, хотя частота колебаний составляет несколько килогерц.

Колебания груза на пружине также могут продолжаться довольно долго, однако в последнем случае существенно заметить, все рассмотренные случаи колебаний касались движения, где изменялась одна координата, в то время как известно, что
для полного описания движения точки необходимо задать три координаты. Все эти координаты считаются равноправными, поэтому, если по каким-то причинам в системе возникают колебания в двух или трех направлениях, то первоначально запасенная энергия станет равномерно распределяться между всеми направлениями колебаний; другими словами, если груз будет совершать не строго вертикальные колебания вдоль одной прямой, то его колебания затухнут быстрее.

Поиск по сайту: