Определение работы силы

Элементарной работой dA силы F на перемещении dl называется их скалярное произведение ( см. рис.20):

F   a dl Рис.20. Величина эле- ментарной работы.

dA = ( F dl ) = F dl cosa . ( 6-1 ) Скалярное произведение ( 6-1 ) может быть представлено в несколько ином виде: dA = dl ( 6-1* ) или dA = F dl F , ( 6-1** ) где = F cosa представляет собой проекцию силы на

направление перемещения, а dl _F =l cosa - проекцию перемещения на направление силы. В декартовой системе координат величину элементарной работы ( по правилам записи скалярного произведения ) можно записать так:

, ( 6-2 )

где F_x , F_y , F_z - проекции силы на оси координат и dx dy dz - cоответствующие проекции перемещения.

Для подсчета работы переменной силы на конечном перемещении необходимо просуммировать все элементарные работы:

. ( 6-3 )

Если сила - непрерывная функция координат, то суммирование заменяется интегрированием, и

. ( 6-4 )

В качестве примера рассмотрим вычисление работы центральной силы,т.е.
силы, которая действует по прямой, соединяющей взаимодействующие тела (ма-

териальные точки), и величина этой силы зависит только от расстояния. Пусть материальная точка А действует на другую точку В центральной силой F. Точка В

F 1 a B r1 dl r dr 2 r2 A Рис.21. Работа цент- ральной силы.

перемещается из положения 1с радиусом-вектором r1 в точку 2 , радиус-вектор которой - r2 ( см. рис.21 ). Вы- бирая на этом участке траектории малое перемещение dl , запишем выражение для элементарной работы: dA = F dl F , Из рис. 21 видно, что dl cos a = dr представляет собой изменение радиуса на малом перемещении dl. Поэтому элементарная работа dA = F (r) dr, т.к. сила зависит толь-

ко от расстояния. Полная работа силы на участке траектории 1-2 находится суммированием всех элементарных работ, т.е.

, ( 6-5 )

где U( r ) - первоообразная для функции F ( r ).

Для силы тяготения, которая также является центральной силой, работа при уве-

личении расстояния от земной поверхности от r₁ до r₂ согласно выражению ( 6-5 ) равна:

. ( 6-6 )

Знак минус перед выражением интеграла соответствует тому, что при увеличении расстояния от Земли приходится затрачивать работу, т.е. совершать отрицательную работу. Очевидно, что полная работа против силы тяжести при изменении расстояния от R_З ( где R_З - радиус Земли ) до бесконечности ( тело удаляется на бесконечно большое расстояние от Земли, т.е. ) равна:

А = - . ( 6-7 )

В   С· 2   Рис.22. Работа цен- тральной силы по замкнутому пути.

Если работа силы не зависит от формы пути, а определяется начальным и конечным положением материальной точки, то ее величина на отрезке ВС ( см. рис.22 ) по пути 1 равна работе этой же силы на пути 2, но работа А1 противоположна по знаку работе А2 : . ( 6-8 )

Тогда сумма работ по замкнутому пути равна А₁+А₂ = 0. В математике такая сумма называется циркуляцией:

. ( 6-9 )

Cилы, работа которых не зависит от формы пути и для которых выполняется условие ( 6-9 ), получили название потенциальных.К потенциальным силам относятся упругие силы F = - k x , т.к. работа этих сил, определяемая как

( 6-10 )

не зависит от формы пути, и для них также справедливо соотношение ( 6-9 ).

Примером непотенциальныхсил являются силы трения, работа которых явно зависит от формы траектории движения тела.

Поиск по сайту: