Лекция 5 Силы инерции

§ 5-1. Неинерциальные системы отсчета.

Первый закон Ньютона утверждает, что состояния покоя и равномерного прямолинейного движения принципиально неразличимы. Другими словами, - это
значит, что законы динамики имеют один и тот же вид в различных инерциальных системах отсчета, т.е. скорость движения системы отсчета не влияет на форму записи законов динамики. Физические утверждения или величины, вид или зна-чения которых не зависят от перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой называются инвариантами. В этом смысле можно говорить, что законы Ньютона инвариантны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Однако ньютоновская механика в неявном виде содержит более сильное утверждение. Так при рассмотрении задачи вычисления первой космической скорости и описании движения автомобиля по выпуклому мосту в уравнениях движения предполагалось, что силы, действующие на тела, имеют одну и ту же величину как в неподвижной системе отсчета, так и в системе отсчета, связанных с самим телом. Фактически это предполагает, что силы остаются инвариантными
даже в системах, движущихся с ускорением, т.е. в неинерциальныхсистемах. То же самое можно сказать относительно массы, хотя в действительности масса при скоростях, сравнимых со скоростью света может изменяться:

, ( 5-1 )

где v - скорость тела, с - скорость света, а m ₀ - так называемая масса покоя тела.
Выражение ( 5-1 ) может быть выведено из рассмотрения законов динамики в специальной теории относительности, развитой Эйнштейном.9

z* z а* y* y x* x Рис.17. Две системы от- счета.

Если силы и масса являются инвариантами в механи-ке Ньютона, то величина ускорения может быть раз-личной в разных неинерциальных системах. Пусть имеются две системы отсчета XYZ и X* Y* Z* , одна из которых (см. рис 17.) XYZ - покоится, а другая - движется с некоторым ускорением, т.е. является не-инерциальной. В силу установленной инвариантности массы и сил в этих системах имеем: F = F * и m = m* . Если ускорение тела в «звездной» системе отсчета - а*, а сама система движется относительно неподвижной системы с ускорением а 0 , которое называют перенос-

ным ускорением, то общее ускорение телаотносительно системы XYZ складывается из этих ускорений:

а = а ₀ + а ^* . ( 5-2 )

Кроме этого возможен еще один вклад в выражение полного ускорения. Для пояснения рассмотрим так называемый «движущийся тро-туар» - систему параллельных движущихся с различной скоростью дорожек (см рис.18.) Если тело движется перпендикулярно дорожкам, то при переходе с одной дорожки на другую его скорость будет изменяться. Быстрота изменения скорости определяется двумя факторами: величиной различия скоростей двух соседних дорожек и быстротой перехода тела с одной дорожки на другую, т.е-

а_К = . ( 5-3 )

v 3 > v 2> v 1 v 2 > v 1 u v 1 m

. Рис.18. «Движущийся тротуар.»

Это ускорение называется кориолисовымили поворотным. Направление этого ускорения определяется направлением Dv = v_i+1 - v_i (i = 1, 2... ) - на рис.18 вправо по отношению к вектору скорости u, т.е. перпендикулярно ему. Из курса метеорологии известно, что этот вид ускорения проявляется во вращающихся системах координат. Величину кориолисова ускорения во вращающейся системе координат

направление u1 вращения Dj Du2 u1 u2 A1 ·   R1 Dj u2 · R2 A2 Рис.19. Определение вели- чины ускорения Ко- риолиса.

можно определить из рассмотрения рис.19. На нем тело участвует в двух движениях: вращательном с угловой скоростью w, направленной от читателя перпендикулярно листу, и равномерного со скоростью u, направленной по радиусу вращения. Пусть за малый промежуток времени Dt тело сместится вдоль радиуса на расстояние D R = R2 - R1 и при этом повернется на угол Dj = wDt , занимая точки А1 и А2 соответственно. Общее изменение скорости состоит из двух слагаемых, одно из которых

связано с увеличением тангенциальной скорости вращательного движения при
переходе от меньшего радиуса R₁ к большему R₂ ,т.е. Du₁ = wDR = w( R₂- R₁ ).

Второе слагаемое Du₂, изображенное на рис 19 в правом верхнем углу, обусловлено поворотом вектора u при переходе из положения А₁ в положение А₂:

Du₂= uDj = u wDt. ( 5-4 )

Направление слагаемого Du₁ как и на рис.18 направлено перпендикулярно u, т.е. вниз. При стремлении Dt к нулю направление Du₂ также стремится к перпендикуляру к u. Поэтому при Dt 0 оба слагаемых совпадают по направлению и

, ( 5-5 )

т.к. по смыслу . Оба сомножителя, входящие в правую часть выражения

( 5-5 ), являются векторами. Ускорение а_К - тоже вектор, поэтому в правой части

( 5-5 ) должно стоять векторное произведение. Порядок сомножителей в этом произведении должен быть такой, чтобы само произведение было направлено вправо от направления u, поэтому

. ( 5-6 )

Возвращаясь к рассмотрению ускорения тела в неподвижной системе отсчета, теперь можно утверждать, что оно состоит из трех слагаемых:

а = а ₀ + а^* + а_К . ( 5- 7 )

§ 5-2. Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета.

Как уже установлено, величина сил и масс являются инвариантами в механике Ньютона, поэтому уравнения движения в неподвижной и неинерциальной системах отсчета записываются следующим образом:

ma = m ( а ₀ + а^* + а_К ) = , ( 5- 8 )

m^* a^* = ^* , ( 5- 9 )

причем m = m^* , a = ^* . Переписывая ( 5- 8 ), получим

m^* a^* = - m a ₀ - mа _K ( 5- 10 )

или m^* a^* = ^* - m a ₀ - m a_K. ( 5- 10а)

Сравнивая уравнения ( 5- 9 ) и ( 5- 10а), можно заметить, что второй закон Ньютона сохранит свой смысл, если члены (- m a ₀ ) и (- m а _K ) трактовать как некоторые
дополнительные силы, возникающие в неинерциальной системе отсчета и получившие название сил инерции. ( и ). Первая из сил, стоящих в скобках представляет собой так называемую переносную силу инерции, а вторая - силу инерции Кориолиса. Примером проявления переносной силы инерции может служить поведение пассажиров в переполненном автобусе при его резком торможении, когда какая-то «непонятная сила» заставляет всех их дружно «валится» вперед по ходу движения. Сила инерции Кориолиса объясняет такие явления как отклонение Гольфстрима к северо-востоку, направление пассатов, дующих из области высокого давления в сторону экватора, рельеф берегов рек, текущих в меридианальном направлении, отклонение снарядов, выпущенных из огнестрельного оружия и т.п.10

Поиск по сайту: