Лекция 8. Дифференциальное уравнение колебаний

Свободные колебания.

Рассмотрим колебания груза массы m, висящего на пружине, жесткость которой k. Направим ось координат Х вертикально вниз, причем за начало отсчета

X   k kx x   m О   mg х Рис.32. Колебания груза на пружине.

примем точку О ( рис. 32),лежащую на одном уровне с центром масс m, когда груз неподвижен. При этом пружина растянута на величину x по сравнению с недеформированном состоянием. Величина упругой силы, действующей на массу m, равна kx. В положении равновесия mg - kx = 0. ( 8-1 ) Если теперь сместить груз из положения равновесия, то он начнет совершать колебательное движение. Колебания, кото-рые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и затем предоставленной самой себе, называются свободными или собственными колебаниями,а частота, с которой происходят эти колебания называется собственной

частотой.Пусть в некоторый момент времени смещение груза равно х. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось Х может быть записан в следующем виде: ma_x = mg - k (x +x) или с учетом ( 8-1)

ma_x = - kx . ( 8-2 )

В свою очередь, уравнение ( 8-2 ) можно записать иначе, если представить ускорение тела через вторую производную смещения по времени a_x = d²x/dt ² и обозначить величину k/m = :

= - x . ( 8-3 )

Уравнение ( 8-3 ) является дифференциальным уравнением второго порядка, однако его решение можно просто угадать простым перебором всех элементарных функций, из которых только функции синуса и косинуса удовлетворяют решению этого уравнения. Действительно, если

смещение x = A sin(w₀t + j), ( 8-4 )

то скорость тела , ( 8-5 )

и ускорение тела . ( 8-6 )

Сравнение ( 8-4 ) и ( 8-6 ) показывает, что действительно ( 8-4 ) является решением уравнения ( 8-3 ). Величины А и j остаются произвольными, для их определения необходимо использовать начальные условия, т.е. значения смещения и скорости тела в начальный момент времени. Например, если при t = 0 x (0)= 0, а v(0) = v₀, то из ( 8-4 ) следует, что sinj = 0 и j = 0, a из ( 8-5 ) величина А = v₀/w₀ .

При этих условиях решением уравнения ( 8-3) служит функция х(t) = .

Задание тех или иных начальных условий обычно определяется конкретными условиями поставленной задачи.

Затухающие колебания.

В реальной жизни любой колебательный процесс постепенно затухает из-за наличия сил трения. Для колебаний груза на пружине существенную роль играет так называемое вязкое трение, сила которого при малых смещениях оказывается пропорциональной величине скорости тела:

F_трен = - bv = - b . ( 8-7 )

В этом случае второй закон Ньютона ( уравнение движения ) для груза, колеблющегося на пружине, приобретает такой вид:

+ mg - k (x +x). ( 8-8 )

Вводя обозначения , это уравнение можно преобразовать так:

, ( 8-9 )

где по-прежнему . Решение этого дифференциального уравнения может быть получено обычным способом, но можно показать, что уравнение ( 8-9 ) можно свести к уравнению типа ( 8-3 ). Для этого достаточно ввести замену переменных x(t) = z (t)e ^{- bt}. Проводя операцию дифференцирования, имеем:

; 2b ;

, .

С учетом этого уравнение ( 8-9 ) может быть записано в таком виде:

+ + = 0

После сокращения на величину и приведения подобных членов получаем:

. ( 8-10)

Сравнивая полученное уравнение с выражением (8-3), нетрудно заметить их почти полную идентичность; различие состоит лишь в том, что частота колебаний в
(8-10) определяется из формулы . Таким образом решение уравнения
( 8-9 ) имеет вид:

, ( 8-11)

где как и ранее величины А и j определяются из начальных условий. В большинстве случаев b<<w₀ и w₃ » w₀ . Решение ( 8-11) представляет уже негармоническое колебание, т.к. его амплитуда А уменьшается с течением времени. Относительное изменение амплитуды за период колебания характеризуется декрементом затухания D, величина которого находится из выражения:

, ( 8-12 )

т.е. декремент затухания равен относительному уменьшению амплитуды за время, равное периоду колебания. Натуральный логарифм D называют логарифмическим декрементом затухания d, т.е. d = ln D =bТ .

Поиск по сайту: