Гармонические колебания. Колебаниями называются такие изменения какой - либо физической величины

Колебаниями называются такие изменения какой - либо физической величины, когда эта величина через определенные промежутки времени принимает одни и те же значения. Любое колебание может быть охарактеризовано такими параметрами:

1. амплитудой колебаний, т.е. величиной наибольшего отклонения от
положения равновесия,

2. периодом колебаний, т.е. временем одного полного колебания; ве-
личина, обратная периоду называется частотой;

3. законом изменения колеблющейся величины со временем; гармо-
ническое колебание происходит по закону синуса или косинуса;

4. фазой колебаний, характеризующей состояние колебаний в любой момент времени.

Гармоническое колебание может быть представлено в трех видах: графическом, аналитическом и векторным. Графическое представление колебаний изображено

х(t) t   Рис.24.Графическое представ- ление колебаний.

на рис.24. Аналитическое представление гармонических колебаний не менее известно: x (t) = A sin (wt + j ) , ( 7-1 ) где j - начальная фаза колебаний, а весь аргумент синуса ( wt + j ) - фаза колебания, А -амплитуда колебаний, а w = 2p/ T - угловая частота колебаний ( Т - период колебаний ).

Наконец, в векторном представлении колебание представляется в виде вектора,

А   w j   Рис.25. Векторное пред- ставление колебаний.

длина которого пропорциональна амплитуде колебаний (см. рис 25). Сам вектор вращается в плоскости чертежа с угловой скоростью w вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через начало вектора колебания. Первоначальное отклонение вектора от горизонтали изображает начальную фазу колебания. Этот вид представления колебаний особенно

удобен для сложения колебаний, когда результирующее колебание находится как векторная сумма всех слагаемых, и будет использоваться во всем курсе.

§ 7-2. Сложение гармонических колебаний.

Наиболее простым примером является сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, каждое из которые можно

AS   A2 j2-j1 j j2 A1 j1 x1 x2 Рис.26. Сложение двух колебаний.

представить в аналитическом виде x1(t) = A1sin (wt + j1) и x2(t) = A2 sin (wt + j2) и векторном виде - см. рис.26. Поскольку оба слагаемых вращаются с одинаковой ча-стотой, суммарный вектор также вращается с этой же частотой, т.е. результатом суммы x1(t) и x2(t) будет гар-моническое колебание той же частоты, амплитуда кото-рого находится как диагональ параллелограмма АS,

построенного на векторах А₁ и А₂:

; ( 7-2 )

разность j₂-j₁ определяется из рисунка 26. Величина начальной фазы j результирующего колебания определяется из величины тангенса этого угла:

,

где А_{S y} и А_{S х} представляют собой проекции амплитуды суммарного колебания на оси Y и X соответственно. Как следует из рисунка, значение А_{S х} равно сумме проекций на ось Х каждого из слагаемых колебаний:

А_{S х} = Х₂ + Х₁ = А₂ cos j₂ + A₁ cos j₁ . ( 7-3 )

Аналогичное выражение может быть получено и для суммарной проекции на ось Y ( для простоты Y - проекции на рис.26 не показаны):

А_{S y} = Y₂ + Y₁ = A₂ sin j₂ + A₁ sin j₁ . ( 7-4 )

Тогда

. ( 7-5 )

Таким образом определены основные параметры суммарного колебания: амплитуда, частота и начальная фаза. Несколько сложнее найти сумму двух колебаний, если их частоты отличаются друг от друга. Практически интересным является случай, когда это различие незначительно, т.е. w₁= w₀ + W и w₂ = w₀ - W, причем W<< w₀ . Пусть для простоты амплитуды обоих колебаний и их начальные фазы одинаковы. Тогда x₁(t) = Asin(w₀ + W)t и x₂(t) = Asin(w₀ - W)t . Суммируя эти выражения, получим

x₁(t)+ x₂(t) = A{sin(w₀ + W)t + sin(w₀ - W)t} = [2AcosWt] sin w₀t, ( 7-6 )

Рис.27. Биения.

где величину, стоящую в квадратных скоб-ках, можно рассматривать как медленно ме-няющуюся амплитуду. Результат суммы таких колебаний, представленный на рис.27 , называется биениями. Примером биений является известное «завывание» двигателей многомоторных самолетов, при условии их грамотной технической эксплуатации. Если

амплитуды слагаемых колебаний неодинаковы, то картина наблюдающихся бие-

Рис.28. Сумма колебаний с близкими частотами разных амплитуд.

ний отличается от предыдущей, т.к. те- перь суммарная амплитуда изменяется от значения А1+ А2 до минимума А1 -А2. Важно отметить, что в обоих случаях суммарное колебание не является гармоническим, хотя оно и записывается в виде произведения гармонических фунций, т.к. его амплитуда не остается постоянной и медленно изменяется с тече- нием времени. (рис.28).

§ 7-3. Сложение перпендикулярных колебаний.

Пусть имеются два гармонических колебания одинаковой частоты, направления колебаний которых взаимно перпендикулярны друг другу. Выберем начало

Рис.29. Результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний оди- наковой частоты.

отсчета времени так, чтобы начальная фаза одного из колебаний была равна нулю. При таком условии колебания можно записать так: x = a sin wt , y = b sin(wt + j), где величина j представляет разность фаз обоих колебаний. Первое уравнение можно переписать так: ( 7-7 ) тогда как второе после преобразования по формуле суммы синусов двух углов принимает вид .(7-8)

Из первого уравнения следует, что

= ± . ( 7-9)

Заменяя в уравнении ( 7-8 ) sinwt и coswt их эквивалентами из уравнений ( 7-7 ) и ( 7-9 ) , можно найти:

,

или ( 7-10 )

Возводя обе части уравнения ( 7-10 ) в квадрат и учитывая, что sin² j + cos² j = 1,

получим:

. ( 7-11 )

Уравнение ( 7-11 ) является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно осей координат (см. рис.29а). При sinj = 0 и sinj = p эллипс вырождается в прямую ( рис.29 в и д )

. ( 7-12 )

При разности фаз между колебаниями p/2 оси эллипса совпадают с осями

Рис.30. Фигуры Лиссажу.

координат ( рис.29 в ). Если частоты складываемых колебаний отличаются друг от друга, то форма кривой, которую описывает радиус-вектор суммарного колебания становится очень сложной и зависит от соотношения складываемых частот. Для некоторых соотношений частот складываемых колебаний получающиеся фигуры, называемые фигурами Лиссажу,показаны на рис.30 .

§ 7-4. Понятие о разложении колебаний в ряд Фурье.

В математике существует так называемая теорема Фурье, согласно которой любой периодический процесс x (t) с периодом Т может быть представлен в виде бесконечной суммы гармонических колебаний с частотами, кратными величине
w =2p/Т :

x(t) = A₀ + A₁sin(wt +j₁) + A₂sin (2wt + j₂ ) +A₃ sin 3wt + j₃ ) +......., ( 7-13 )

которую принято называть рядом Фурье. Каждая из слагаемых суммы ( 7-13 ) представляет собой отдельную гармонику, амплитуда и начальная фаза которой зависит от вида функции х(t). Совокупность амплитуд и частот, на которые разлагается любое негармоническое колебания, образуют спектрэтого колебания. Гра-

A4   A1 A3 A2 A5   w1 w2 w3 w4 w5 w Рис.31. Графическое представле - ние спектра.

фическое изображение спектра приведено на рис.31. Как видно из рисунка, каждая со- ставляющая спектра изображается в виде вертикальных линий, основание которых рас-положено в соответствующих местах оси час-тот , а длина каждой из линий пропорциональна величине амплитуды выбранной гармоники. Не следует думать, однако, что спек- тральное разложение имеет только математи-

ческий смысл. В реальных физических процессах, зависящих от времени, всегда удается выделить гармонические колебания, частота и амплитуда которых полностью соответствуют гармоникам разложения в ряд Фурье11. Примером спектрального представления может служить разложение импульса длительности t , когда
величина спектральной частоты определяется соотношением

w_спектр= . ( 7-14 )

Поиск по сайту: