Теоретическое распределение дискретной и непрерывной случайной величины

Дискретное распределение считается теоретически заданным, если известны все возможные значения , принимаемые величиной, и вероятности для каждого события в поле испытаний. Так как эти события должны образовывать полную группу, то полная вероятность

.

(10)

При дискретном распределении общая масса вероятности, равная единице, сосредоточена в счетной или конечной системе точек х_i . Другими словами, точечное распределение массы вероятности, подобно, например, точечному распределению электрических зарядов. К теоретическим распределениям дискретных величин относятся биномиальное, гипергеометрическое, распределение Пуассона. Каждое из этих распределений описывается аналитической функцией, выражающей зависимость вероятности от дискретной переменной величины и параметров распределения.

Функция биноминального распределения:

,

(11)

где q = 1 – p, n, p - параметры распределения.

Функция распределения Пуассона

,

(12)

где l - параметр распределения.

Для теоретического изучения распределения непрерывных величин вводится понятие плотности вероятности

,

где Dx длина малого интервала, начинающегося в точке x

Для бесконечно малого интервала Dx вероятность

, (13)

для конечного интервала , где ,

Интеграл от плотности вероятности распределения по любому промежутку оси дает вероятность попадания величины X в этот промежуток Dx.

Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция , удовлетворяющая двум условиям:

1. ,	(14)
2. .	(15)

Вероятность

(16)

называется интегральной функцией распределения в отличие от плотности вероятности , которую называют дифференциальной функцией распределения.

Графическое представление дифференциальной функции распределения

На графике (рис.6) плотность вероятности является ординатой кривой распределения, а вероятность Р(х) равна площади под этой кривой oт -¥ до x. По определению Р(x) обладает следующими свойствами:

1. P(x)- непрерывная возрастающая функция: её приращение в промежутке равно вероятности для величины X попасть в этот промежуток. В самом деле, по правилу сложения вероятностей:

,

т.е. ,

и следовательно

.

,	(17)
.	(18)

3. Производная от интегральной функции распределенная P(x) равна плотности , т.е

.

(19)

Параметры теоретического распределения

Поиск по сайту: