Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.
Мода - это наиболее часто встречающаяся варианта признака в данной совокупности.
В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:
44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;
Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.
В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле
,
где x0 - нижняя граница модального интервала;
d - величина модального интервала;
f2 - частота модального интервала;
f1 - частота интервала, предшествующая модальному;
f3 - частота интервала, следующая за модальным.
Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица)
Таблица.
Распределение населения РФ по уровню среднедушевого месячного дохода в I-ом полугодии 1995 года
Среднедушевой месячный доход, руб.
Удельный вес населения, % (f i)
Накопленная частота, % (Si)
менее 100
100-300
300-500
500-700
700-900
900 и выше
Интервал 100-300 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет наибольшую частоту (f=35,5). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет равна:
руб.
Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.
Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.
В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.
В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:
, где
x0 - нижняя гранича медианного интервала;
d - величина медианного интервала;
Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;
fMe - частота медианного интервала.
По данным таблицы определим медианное значение среднедушевого дохода. Для этого необходимо определить какой интервал будет медианным. Используя формулу номера медианной единицы ряда, т.е. середины (%) . Затем определяем накопленную частоту.
Дробное значение N (всегда при четном числе членов) равное 50,5% говорит о том, что середина ряда находится между 50% и 51%, т.е. в третьем интервале. Отсюда медиана по формуле будет определена
руб.
4. . Вариация - колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности.
По степени вариации можно судить об однородности совокупности, об устойчивости отдельных значений признаков и типичности средней. Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям коэффициент вариации.
Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности (R = Хmax- Xmin).
Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:
где d - среднее линейное отклонение; I I - абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f - частота.
Среднее линейное отклонение показывает, насколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.
Дисперсия ( ) - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:
Среднее квадратическое отклонение(о) представляет собой корень квадратный из дисперсии:
Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.
Коэффициент вариации - наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 40 %.
При отсутствии вариации данный показатель равен нулю, а при её увеличении растёт и значение коэффициента вариации. Чем выше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней и, следовательно, более неоднородна исследуемая совокупность.