Бифуркации Ландау – Хопфа, странный аттрактор Лоренца

Примером того, что основные положения линейной неравновесной термодинамики оказываются неприменимыми в случае изучения явлений самоорганизации, может служить переход ламинарного течения обыкновенной воды в турбулентное. Можно рассматривать три возможных состояния воды: при термодинамическом равновесии, при малых и при больших отклонениях от равновесия.

В первом случае, скорость движения воды равна нулю, и в состоянии термодинамического равновесия система находится в покое. Энтропия ее максимальна (если система замкнута). Если создать, например, градиент давления, равновесие нарушится, вода, естественно, начнет перемещаться в сторону меньших давлений. Вода сначала будет перемешаться как бы слоями, параллельными направлению течения, т. е. течение будет ламинарным, но до некоторой критической скорости. Производство энтропии в стационарном состоянии минимально, существует линейная взаимосвязь между потоками и термодинамическими силами.

Превысив некоторое критическое значение скорости u_кр движения поток воды, (или любой другой жидкости или газа), становится турбулентным. Возникает состояние, соответствующее большим отклонениям от равновесия, и оказывается необходимым учет нелинейности, вызванной резко возросшими диссипативными процессами.

Теорема Пригожина о минимуме производства энтропии перестает выполняться: линейной зависимости между потоками и термодинамическими силами не существует. Примером стационарной системы без минимального производства энтропии становится течение с развитой турбулентностью.

Надежного количественного описания возникновения турбулентности до сих пор не существует, и эта проблема перехода к турбулентности в гидродинамических течениях является одной из самых трудных проблем классической физики.

Академиком Л. Ландау в 1944 г. была предложена одна из теорий возникновения турбулентности. Теория Ландау сыграла существенную роль в развитии теории турбулентности, а также в общей теории неустойчивости динамических систем.

Переход к турбулентному течению обычно характеризуется безразмерной величиной, называемой числом Рейнольдса Re (Re=uL/v, где v – коэффициент вязкости, деленный на плотность, а L – характерный линейный размер, используемый в задаче). Согласно Ландау, возникновение турбулентности по мере увеличения скорости или числа Рейнольдса осуществляется следующим образом. Единственная стационарная картина течения, соответствующая ламинарному движению, существует при малых числах Рейнольдса. Вследствие флуктуаций возникают небольшие отклонения в скоростях движения от стационарных значений, но они экспоненциально затухают со временем.

Некоторые из малых возмущений перестают затухать при превышении порогового значения критического числа Re. Этот процесс сопровождается потерей системы устойчивости и переходом ее на новый режим. Происходит первая бифуркация (бифуркации Хопфа). Как известно, термин «бифуркация» означает раздвоение. Он может употребляться в широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят. Новый периодический режим снова перестает быть устойчивым при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, возникают незатухающие колебания, по крайней мере, еще с одной частотой и т. д. Если двигаться от стационарного течения при малых Re в область увеличения Re, то, по предположению Ландау, «интервалы между числами Рейнольдса, соответствую­щими последовательному появлению новых частот, быстро сокращаются. Что касается вновь появляющихся движений, то они имеют все более мелкие масштабы»[5]. Это значит, что нерегулярное поведение, типичное для турбулентного движения, есть результат бесконечного каскада бифуркаций, в соответствии с теорией Ландау.

Его теория – это лишь один из вариантов возникновения нерегулярного поведения. С проблемой возникновения турбулентного течения связаны все трудности в изучении поведения потока жидкости или газа, начиная от переноса тепла в реакторе и кончая аэродинамикой.

Средой, находящейся в турбулентном движении, заполнена большая часть Вселенной. Изменчивость естественных тече­ний является как раз следствием неустойчивости движения жидкости или газа. Физика планет, океанология, физика атмосферы и астрофизика сталкиваются с проблемой неустойчивости, что подтверждает важность анализа задач неустойчивости и турбулентности.

Новый механизм потери устойчивости был описан в 1963 г метеорологом Э. Лоренцом, который его наблюдал в численных экспериментах по моделированию возникновения турбулентности в процессе конвекции. Лоренц нашел область, обладающую необычными свойствами в трехмерном фазовом пространстве (в его случае координатами этого пространства являлись скорость и амплитуды двух температурных мод), которая существует при определенных условиях. Все траектории из окрестных областей притягиваются этой областью. Близкие траектории, попав в нее, расходятся и имеют очень сложную и запутанную структуру. Она была названа «странный аттрактор», так как, по определению, аттрактором, т. е. «притягателем» является притягивающее множество в фазовом пространстве, а в случае существования аттрактора, отличного от состояния равновесия и строго периодиче­ских колебаний, он называется странным.

Выбранное наугад решение в странном аттракторе Лоренца по прошествии достаточно большого времени пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора, блуждая по нему. «Можно сказать, что странный аттрактор представляет собой бесконечную притягивающую линию, уложенную в конечном объеме фазового пространства. Переход системы на такой режим означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, детали которых очень чувствительны к малому изменению начальных условий. Иными словами, две близкие в начальный момент времени траектории очень быстро разбегаются, что соответствует плохой предсказуемости течения по начальным условиям, которые всегда точно не известны».[6] Долгосрочный динамический прогноз погоды из-за отсутствия точно заданных начальных условий представляет собой большую трудность. Еще до Лоренца в самом начале 60-х годов прошлого столетия советскими математиками Д. В. Аносовым и Я. Г. Синаем были установлены существование аттракторов с экспоненциально расходящимися фазовыми кривыми на них и устойчивость такого рода явлений.

Часто переход ламинарного течения в турбулентное используют для более точного определения понятия «хаоса». В специальном смысле это слово означает нерегулярное движение, описываемое детерминистическими уравнениями. Ими же описывается течение жидкости, и переход к турбулентности есть возникновение хаоса.

«Период три дает хаос» – это статья американских ученых Т. Ли и Дж. Йорка (1975 г.), в которой впервые слово «хаос» появилось в этом смысле. По их мнению, третья бифуркация, связанная с удвоением периода неустойчивой моды, приводит систему к неустойчивому режиму, чем и обусловлено название статьи. Но своя внутренняя упорядоченность присуща хаотическому, нерегулярному режиму, и ее можно увидеть при исследовании тонких деталей хаотической динамики. «Странный аттрактор Лоренца в трехмерном пространстве грубо можно представить как двумерную поверхность. Однако, как отмечал еще Лоренц, при попытке «проколоть» его пришлось бы «проколоть» бесконечное число слоев. Структура аттрактора проявляется при увеличении масштаба изображения».[7] Это позволяет предположить, что хаотический турбулентный режим может иметь более сложную структуру, чем упорядоченный ламинарный.

Поиск по сайту: