Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.



Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Как известно, такая функция достигает своих наибол. и наим. значений. Это значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a,b], либо на границе отрезка, т.е. при =a или =b. Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [a,b]:

1) найти критические точки функции на интервале (a,b);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x=a и x=b;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума(минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее(наименьшее) значение.

2. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) – на другом.

 

 


60. Комплексные числа. Формулы Муавра.
Комплексным числом назыв. выражение вида z = x + iy, где x и y - действительные числа, а i – так назыв. мнимая единица, . Если x=0, то число 0+iy=iy назыв. числом мнимым; если y=0, то число x+i0=x отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действит. чисел явл. подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. . Число х назыв. действительной частью z, . Два комплексных числа и называются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число Z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа z=x+iy и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M(x,y) плоскости Oxy такой, что x=Re z, y=Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, т.к. на ней лежат действительные числа z = x + 0i = x. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z = 0 + iy. Комплексное число Z=x+iy можно задать с помощью радиус-вектора r=OM=(x,y). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положит. Направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа Z=0 не определен. Аргумент комплексного числа - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке ( ), т.е. - (иногда в кач-ве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку (0; )).

Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами

Сложение. Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Сложение комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Вычитание. Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1, т.е. z=z1-z2, если z+z2=z1. Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Умножение. Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Отсюда, в частности, и следует: . Если числа заданы в тригонометрической форме: .

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Формула Муавра (если есть n множителей и все они одинаковые): .


 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.