Для функции двух переменных вводится понятие предела функции непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(x,y) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется -окрестностью точки . Другими словами, -окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром и радиусом . Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой это точки. Число А называется пределом функции z=f(x,y) при и , если для любого существует такое, что для всех и и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Записывают: или .Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к (число таких направлений бесконечно). Геометрический смысл предела функции: каково бы ни было число , найдется -окрестность точки , что во всех ее точках , отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности z=f(x,y) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на . Непрерывность функции двух переменных. Функция z=f(x,y)(или f(M)) называется непрерывной в точке , если она: а)определена в этой точке и некоторой ее окрестности; б)имеет предел ; в)этот предел равен значению функции z в точке , т.е. или . Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=f(x,y) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва y=x. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если выполняется равенство , т.е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов x и y стремятся к нулю.
Частные производные нескольких переменных. Пусть задана функция z=f(x,y). Т.к. x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной x приращение , сохраняя значение y неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается . Итак, . Аналогично получаем частное приращение z по y: . Полное приращение функции z определяется равенством . Если существует предел , то он называется частной производной функции z=f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x и обозначается . Частные производные по x в точке обычно обозначают символами .