Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.

Матрицы

И действия над матрицами.

Матрица- прямоуг таблица чисел, содерж m-строк и n-столбцов.

1. Матрицы равны между собой, если равны соответств элементы этих матриц.

2. Матрица, в которой m=n наз квадратной или n-ого порядка.

3. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов гл диагонали, равны 0 называется диагональной.

4. Диаг матрица, у которой каждый элемент главной диаг =1 наз единичной.

5. Квадратная матрица наз. треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону её гл диаг =0.

6. Матрица, у которой все числа, стоящие на гл диаг не нулевые, а также некоторое кол ненулевых строк, наз трапециевидной.

7. Матрица, содерж один столбец или строку, наз вектором из Rⁿ пространства.

Действия:

· Сложение – только для матриц одинакового размера.

· Умножение на число. Множества матриц одинакового размера обознач M^m*n. Тогда введённое на этом мн-ве операции сложения и умнож на число превращ M^m*n в линейное пр-во, векторами которого явл матрицы m*n.

· Умножение на вектор-столбец. Для умножения матрицы на вектор-столбец надо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу координат вектора.

· Две матрицы наз эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью элементарным преобраз. любую матрицу можно привести к канонической.

Умножение матриц. Согласованные матрицы.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_m*n = (a_i,g) на матрицу В_n*p = (b_i,k) называется матрица Сm*p = (с_i,k) такая, что:

,

где i= , , т.е. элемент i-той и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы к-ого столбца матрицы В.

Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А).

Смысл согласованности в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством строк 2-ой матрицы. Для согласованных матриц можно определить операцию умножения.

Если матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если A^T=A, то матрица А наз. симметричная(она обязательно квадратная).

---

Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.

Определителем матрицы А называется число:

- матрица второго порядка.

Матрица 3-его порядка:

Свойства определителей:

1. если А и В – квадратные матрицы n*n, то:

Замечание: АВ ВА

2.

3. пусть А = (а_i,j) и при этом ее какой-либо ряд (либо столбец, либо строка) i-я строка обладает свойством, что:

4. определитель равен нулю, если в нем есть нулевой ряд.

5. определитель = 0, если у него есть два одинаковых (пропорциональных) параллельных ряда.

6. определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

7. определитель треугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали.

8. если в определителях поменять местами, то определитель поменяет знак.

9. если к какому-то ряду определителя прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на какое-то число (одинаковое), то определитель при этом не изменяется.

10. если какой-то ряд определителя содержит в себе обдщий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
4. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.

Пусть есть определитель n-ого порядка. Зафиксируем число к: 1 .

В исходном определителе вычеркнем к строк и к столбцов.

В результате такой операции все элементы определителя можно отнести к 3-ем разным типам:

1. незачеркнутые

2. 1 раз зачеркнутые

3. дважды зачеркнутые

Теперь из дважды зачеркнутых составим определитель. Такой определитель называется минором.

Теорема 1: ( о разложении определителя): Это теорема лапласа:

Определитель равен сумме произведения всевозможных миноров одного и того же порядка к (к<n), ктр. можно составить из произвольно выбранных к параллельных рядов на их алгебраическое дополнение.

Наиболее часто на практике применяется случай, когда к=1, тогда Т1 переходит в Т2:

Т2 (о разложении определителя по элементам ряда):
определитель равен сумме произведения элементов некоторого ряда на их алгебраическое дополнение.

Поиск по сайту: