Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Операція перетину множин та основні властивості (закони) цієї операції.



5. Розглянемо дві множини А={1,2,3,4} і B={2,4,6,8} та утворимо третю множину С={2,4}. Із яких елементів складається множина С? – із елементів, які входять в кожну із множину, тобто із спільних елементів цих множин. Таку множину називають перетином множин А та В і позначають символом АÇВ=С.

Означення: перетином двох множин А і В називається така третя множина АÇВ, яка складається із спільних елементів А та В.

Символічно це означення можна записати так: AÇB={х/хÎA і хÎB}. З допомогою діаграм Ейлера-Венна перетин множин А і В зображено на малюнку № 1.8.

 
 

 


 

 

Малюнок № 1.8. Перетин множин AÇB.

Означення перетину можна поширити на випадок трьох і будь-якої скінченної кількості множин. Операція перетину множин підкоряється таким законам:

1. AÇÆ=Æ.

2. AÇИ=A.

3. AÇA=A - закон ідемпотентності (незмінності).

4. AÇB=BÇA - переставний (комутативний).

5. АÇ(ВÇС)=(АÇВ)ÇС – сполучний (асоціативний).

6. АÇ(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС) – розподільний (дистрибутивний) закон перетину відносно об’єднання.

7. АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС) – розподільний (дистрибутивний) закон об’єднання відносно перетину.

Справедливість законів 1-3 легко обґрунтувати, виходячи із означення операції перетину, а закони 4-7 слід довести, використовуючи міркування чи діаграми Ейлера-Венна. Доведемо асоціативний закон операції перетину (AÇB)ÇС=AÇ(BÇС), використовуючи діаграми Ейлера-Венна (див. малюнок № 1.9.). На лівій діаграмі спочатку заштрихуємо вертикальними лініями множину AÇB, а горизонтальними - множину С. Тоді множина (AÇB)ÇС зобразиться тією частиною універсальної множини, на якій штрихи накладуться. На правій діаграмі заштрихуємо спочатку вертикальними лініями множину BÇС, а множину А - горизонтальними. Тоді множина AÇ(BÇС) зобразиться тією частиною універсальної множини, на якій штрихи накладуться. Порівнюючи ліву та праву діаграми, бачимо, що множини (AÇB)ÇС і AÇ(BÇС) зображаються однієї й тією ж частиною універсальної множини. А це означає, що рівність (AÇB)ÇС=AÇ(BÇС) справедлива. Отже, закон доведено.

       
   

 

 


Малюнок № 1.9. Доведення асоціативного закону операції перетину(AÇB)ÇС=AÇ(BÇС) .

 

Операції об’єднання та перетину множин пов’язані між собою дистрибутивними або розподільними законами. Доведемо один із цих законів, а саме АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС), використовуючи міркування. Оскільки дві множини вважаються рівними тоді, коли кожен елемент першої є елементом другої, і навпаки, кожен елемент другої є елементом першої множини, то доведення складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен елемент лівої частини рівності належить правій, а в другій – що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Виберемо у лівій частині рівності довільний елемент хєАÈ(ВÇС). Якщо хÎАÈ(ВÇС), то згідно означення операції об’єднання множин можливі два випадки: а) хєА і хÏВÇС; б) хÏА і хєВÇС, тоді хєВ і хєС; в) хєА і хєВÇС, тоді хєА, хєВ і хєС.

а) якщо хєА і хÏВÇС, то хÏВ або хÏС. Тоді, згідно означення операції об’єднання хє(АÈВ) і хє(АÈС), а згідно означення операції перетину хє(АÈВ)Ç(АÈС), тобто правій частині рівності.

б) якщо хÏА і хєВÇС, то хєВ і хєС, а тому хє(АÈВ) і хє(АÈС). Отже, хє(АÈВ)Ç(АÈС), тобто правій частині рівності.

в) якщо хєА і хєВÇС, то згідно означення операції перетину хєВ і хєС. Тоді, згідно означення операції об’єднання хє(АÈВ) і хє(АÈС), а згідно означення операції перетину хє(АÈВ)Ç(АÈС), тобто правій частині рівності.

Таким чином, вибравши у лівій частині рівності довільний елемент, який їй належить, ми показали, що будь-який елемент лівої частини рівності належить правій частині рівності. Оскільки в лівій частині елемент ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини рівності є елементом правої частини рівності. Це означає, що (АÈ(ВÇС))Ì((АÈВ)Ç(АÈС)). Перша частина теореми доведена.

Проведемо доведення другої частини: покажемо, що кожен елемент правої частини рівності є елементом лівої. Нехай ує(АÈВ)Ç(АÈС). Тоді згідно означення операції перетину множин маємо: ує(АÈВ) і ує(АÈС). Тут можливі два випадки: а) уєА і уÏВ; б) уÏА і уєВ, а тоді уєС.

а) якщо уєА і уÏВ, то згідно означення операції об’єднання ує(АÈ(ВÇС)), тобто лівій частині.

б) якщо уєВ і уєС, то згідно означення операції перетину ує(ВÇС), а згідно означення операції об’єднання ує(АÈ(ВÇС)), тобто лівій частині. Таким чином, в обох випадках, якщо елемент належить правій частині, то він належить і лівій.

Оскільки елемент у правій частині ми вибрали довільно, то наші міркування можна повторити для кожного із елементів правої частини. Отже, кожен елемент правої частини є елементом лівої. Це означає, що справедливе твердження ((АÈВ)Ç(АÈС))Ì(АÈ(ВÇС)). Другу частину доведено.

Таким чином, у першій частині ми довели, що (АÈ(ВÇС))Ì((АÈВ)Ç(АÈС)), тобто, що кожен елемент лівої частини є елементом правої, а в другій частині – ((АÈВ)Ç(АÈС))Ì(АÈ(ВÇС)), тобто, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Отже, згідно означення рівності множин, маємо АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС), тобто ліва і права частини рівності складаються з одних і тих самих елементів. А це означає, що справедливість закону доведено.

Готуючись до екзамену студент має право доводити відповідні закони будь-яким із наведених способів. Для оволодіння способами доведення пропонуємо студентам довести самостійно всі не доведені закони будь-яким із запропонованих двох способів.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.