Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Малюнок № 1.20. Граф відповідності.



 

Типи відповідностей (порожня, повна, всюди визначена у множині відправлення, сюр’єктивна, інє’ктивна, функціональна відповідність або функція, відображення, бієктивна). Обернені функції та відображення.

2. Яке співвідношення може існувати між множинами G і Х×У? – 1) G∩Х×У=Ø; 2) GÌХ×У; 3) G=Х×У. Виходячи із цих співвідношень можна виділити наступні характерні типи відповідностей:

1) порожня відповідність, при якій G∩Х×У=Ø і α= Ø;

2) повна відповідність, при якій α=Х×У і у графі якої від кожного елемента множини Х йдуть стрілки до кожного елемента множини У;

3) відповідність всюди визначена у множині відправлення Х, тобто така, у якої GÌХ×У і для якої α-1(У)=Х. Це означає, що всі елементи множини Х мають образи у множині У. На графі такої відповідності із кожного елемента множини Х виходить стрілка до якогось елемента множини У;

4) сюр’єктивна відповідність, тобто відповідність на всю множину прибуття У, причому α(Х)=У. При такій відповідності кожен елемент множини У має прообраз у множині Х. Для графа цієї відповідності характерно те, що із кожного елемента множини Х виходить стрілка і в кожен елемент множини У входить стрілка;

5) інє’ктивна відповідність – це така відповідність αÌХ×У, у якої прообрази елементів з множини У містять не більше одного елемента з множини Х. На графі такої відповідності в елементи множини У входить не більше однієї (одна або жодної) стрілки;

6) функціональна відповідність або функція, при якій образи елементів з множини Х або порожні, або містять лише один елемент. Граф цієї відповідності характеризується тим, що з кожного елемента множини Х виходить або одна стрілка, або не виходить жодної стрілки, але в елементи множини У може входити більше, ніж одна стрілка;

7) відображення – це всюди визначена функціональна відповідність, коли кожному елементу з множини Х відповідає єдиний елемент у множині У. Такі відповідності, тобто відображення, у свою чергу, поділяють на дві групи: а) відображення множини Х в множину У, коли у множині У є елементи, які не мають прообразів в множині Х. Граф такого відображення характеризується тим, що з всіх елементів множини Х виходять стрілки, але не в кожен елемент множини У входить хоча б одна стрілка; б) відображення множини Х на множину У, коли кожен елемент з множини У має прообраз у множині Х;

8) бієктивна або взаємно однозначна відповідність, яка одночасно всюди визначена, сюр’єктивна, інє’ктивна та функціональна, тобто це ін’єктивне та сюр’єктивне відображення.

У математиці доволі часто доводиться мати справу з оберненими об’єктами (обернені числа, обернені задачі, обернені теореми, обернені функції тощо). Отже, цілком доцільним є введення понять оберненої відповідності та оберненого відображення.

Означення: відповідністю, оберненою до відповідності αÌХ×У, називається така відповідність α-1, яка є підмножиною декартового добутку множин У×Х і складається з тих і тільки тих пар (у;х), для яких (х;у)єα.

Якщо взяти функціональну відповідність і побудувати для неї обернену, то відповідь на запитання «чи буде одержана відповідність функціональною?» не завжди позитивна.

Означення: відображенням, оберненим до даного відображення f, називається таке відображення f-1, у якого для кожного хєХ і уєУ, якщо f(х)=у, то f-1(у)=х, тобто f-1(f(х))=х.

У математиці доведено теорему, яка дає відповідь на запитання «які відображення мають обернені?».

Теорема: відображення fÌХ×У має обернене відображення f-1 тоді і тільки тоді, коли відображення f – бієктивне.

Цю теорему приймемо без доведення.

Означення: відображення f називається оборотним, якщо воно має обернене відображення f-1.


Бінарні відношення між елементами однієї множини, способи їхнього задання та їх властивості: рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, асиметричність, антисиметричність, транзитивність, антитранзитивність.

3. Хоча поняття відповідності та відношення досить близькі, але вони мають суттєві відмінності. Не зупиняючись на цих відмінностях, які не є предметом нашого розгляду, приймемо наступне означення.

Означення: якщо у відповідності f множина відправлення Х співпадає з множиною прибуття У, то таку відповідність будемо називати відношенням між елементами множини Х.

Означення: бінарним відношенням, визначеним у множині Х, називається кожна підмножина декартового квадрату Х×Х=Х2.

Як же можна задавати відношення? – оскільки відношення це відповідність, то його можна задавати тими самими способами, тобто за допомогою переліку, характеристичної властивості, таблиць, графів, графіків, формулою (аналітично). Які ж є типи відношень? – залежно від набору певних властивостей виділяють типи відношень, які ми визначимо за допомогою наступних означень.

Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається рефлексивним, якщо кожний елемент множини Х перебуває у відношенні α сам з собою, тобто аαа.

Символічно наведене означення можна записати так: ( хєХ)(аαа). Якщо відношення α рефлексивне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість рефлексивності. Прикладами рефлексивних відношень є відношення подільності на множині чисел (а:а), рівності на множині фігур, паралельності на множині площин тощо.

Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається антирефлексивним, якщо не кожен елемент множини Х перебуває у відношенні α сам з собою, тобто аαа.

Символічно наведене означення можна записати так: ( хєХ)(аαа). Якщо відношення α антирефлексивне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість антирефлексивності. Прикладами антирефлексивних відношень є відношення більше на множині чисел, перпендикулярності на множині прямих тощо.

Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається симетричним, якщо для будь-яких а,вєХ із того, що аαв→вαа. Символічно наведене означення можна записати так: ( а,вєХ)(аαв→вαа). Якщо відношення α симетричне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість симетричності. Прикладами симетричних відношень є відношення дорівнює на множині фігур, перпендикулярності на множині прямих тощо.

Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається асиметричним, якщо для будь-яких а,вєХ із того, що аαв→вαа.

Символічно наведене означення можна записати так: ( а,вєХ)(аαв→вαа). Якщо відношення α асиметричне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість асиметричності.

Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається антисиметричним, якщо для будь-яких а,вєХ із того, що (аαв^вαа)→(а=в).

Символічно наведене означення можна записати так:

( а,вєХ)(аαв^вαа)→(а=в). Якщо відношення α антисиметричне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість антисиметричності.

Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається транзитивним, якщо для будь-яких а,в,сєХ із того, що (аαв^вαс)→(аαс).

Символічно наведене означення можна записати так:

( а,в,сєХ)(аαв^вαс)→(аαс). Якщо відношення α транзитивне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість транзитивності. Прикладами транзитивних відношень можуть бути: відношення подільності на множині чисел, відношення менше на множині кутів тощо.

Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається антитранзитивним, якщо для будь-яких а,в,сєХ із того, що (аαв^вαс)→(аαс).

Символічно наведене означення можна записати так: ( а,в,сєХ)(аαв^вαс)→(аαс). Якщо відношення α антитранзитивне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість антитранзитивності.

Означення: відношення α, визначене у множині Х називається зв’язним, якщо для будь-яких аαв і а≠в випливає, що аαв або вαа.

Прикладом таких відношень є відношення більше, менше на множині чисел.





©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.