Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.



4. Розглянемо дві множини: А={2,3,4} і В={2,4,6}. Утворимо нову множину С={2,3,4,6}. Із яких елементів складається множина С? – із елементів, які входять хоча б в одну із множин. Множину С, яка складається із елементів, що належать хоча б одній із множин А чи В, називають об’єднанням множин А і В. Її позначають С=АÈB.

Означення: Об’єднанням множин А та В називають третю множину АÈВ, що складається із елементів, які входять хоча б в одну із множин А чи В.

Символічно наведене означення можна записати так: АÈВ={х /хÎА або аÎВ}. На діаграмі Ейлера-Венна ця множина зображена на малюнку № 1.6.

Малюнок № 1.6. об’єднання множин АÈВ.

Операція об’єднання може поширюватись на три і більше множин. Вона підкоряється певним законам, серед яких є такі, справедливість яких випливає безпосередньо із означення об’єднання, та такі, які слід доводити. До законів (властивостей) об’єднання, справедливість яких легко обґрунтувати, виходячи із означення об’єднання множин, відносяться: 1. AÈÆ=A. 2. AÈU=U. 3. AÈA=A - закон ідемпотентності (незмінності).

До законів, які слід доводити одним із можливих способів (міркуваннями або за допомогою діаграм Ейлера-Венна) відноситься переставний або комутативний закон: AÈB=BÈA. Для його доведення використовуємо діаграми Ейлера-Венна. Намалюємо дві однакові діаграми, на лівій із яких зображатимемо ліву частину рівності, а на правій – праву. На лівій діаграмі заштрихуємо множину A горизонтальними штрихами, а множину B - вертикальними. Множина AÈB зображається тією частиною універсальної множини, де є або горизонтальні, або вертикальні штрихи. На правій діаграмі множину A заштрихуємо вертикальними штрихами, а множину В - горизонтальними. Множина BÈA зображається на правій діаграмі тією частиною універсальної множини, де є або вертикальні, або горизонтальні штрихи. Порівнюючи їх, бачимо, що множини AÈB і BÈA зображаються на них однаковими частинами універсальної множини, а тому можна стверджувати, що AÈB=BÈA. Закон доведено (див. малюнок № 1.7.).

 
 

 


АÈВ ВÈА

Малюнок № 1.7. Доведення переставного закону AÈB=BÈA.

Доведемо сполучний або асоціативний закон (AÈB)ÈС=AÈ(BÈС) за допомогою міркувань. Оскільки дві множини вважаються рівними, якщо кожен елемент першої множини є елементом другої і, навпаки, кожен елемент другої множини є елементом першої множини, то доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен елемент, що належить лівій частині асоціативного закону, є елементом і правої частини.

1. Нехай хÎ(AÈB)ÈС. Згідно означення об’єднання множин це означає, що: або 1) хÎ(AÈB), або 2) хÎС, або 3) хÎAÈB і хÎС. Якщо хÎAÈB, то або 1) хÎA, або 2) хÎB, або 3) хÎA і хÎB. Якщо хÎA, то, переходячи до правої частини закону, на основі означення об’єднання множин можна стверджувати, що хÎAÈ(BÈС). Якщо хÎB, то хÎBÈС, тобто хÎAÈ(BÈС). Якщо хÎA і хÎB, то хÎAÈ(BÈС). Якщо ж, нарешті, хÎС, то хÎ(BÈС), а тому хÎAÈ(BÈС). Таким чином ми показали, що будь-який елемент лівої частини рівності належить правій частині рівності. Оскільки елемент у лівій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини рівності є елементом правої частини рівності. Перша частина теореми доведена.

2. Доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай уÎAÈ(BÈС). Згідно означення об’єднання множин можливі такі випадки: або 1) уÎA, або 2) уÎBÈС, або 3) уÎA і уÎBÈС. Якщо уÎA, то уÎAÈB, а тому уÎ(AÈB)ÈС. Якщо уÎBÈС, то або 1) уÎB, або б) уÎС, або в) уÎB і уÎС. Якщо уÎB, то уÎAÈB тоді уÎ(AÈB)ÈС. Якщо уÎС, то уÎ(AÈB)ÈС. Якщо уÎB і уÎС, то уÎ(AÈB)ÈС. Аналогічно легко довести справедливість рівності у випадку, коли уÎA і уÎBÈС. Оскільки елемент у в правій частині ми вибрали довільно, то наші міркування можна повторити для кожного із елементів правої частини. Отже, кожен елемент правої частини є елементом лівої. Другу частину теореми доведено.

Таким чином, кожен елемент лівої частини є елементом правої частини і, навпаки. А тому, ліва і права частини рівності складаються з одних і тих самих елементів. А це означає, що (AÈB)ÈС=AÈ(BÈС). Закон доведено.

Приклад: утворити об’єднання множин А та В, якщо множина А={1,2,3,4,5}, а В={а,в,с}. AÈB={1,2,3,4,5,а,в,с}.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.