Теорема о переходе к пределу в показателе степени при постоянном основании

В показателе степени при постоянном основании можно переходить к пределу, то есть , где , или , .

Умения

1. Раскрыть неопределенности вида:

Решение.

2. Раскрыть неопределенности вида:

Решение.

3. Раскрыть неопределенности вида:

Решение.

4. Раскрыть неопределенности вида:

Решение.

5. Вычислить предел дроби, содержащей иррациональность.

Решение.

6. Вычислить пределы выражений, содержащих логарифмы, показательные, степенные, показательно-степенные и тригонометрические функций.

· Выражение, содержащее логарифмы:

· Выражение, содержащее тригонометрические функции:

· Выражение, содержащее степенную функцию:

· Выражение, содержащее показательную функцию:

Решение:

Решим с помощью логарифмирования:

Найдем производную:

Рассмотрим предел при от полученной производной:

· Выражение, содержащее показательно-степенную функцию:

26. Нахождение предела кусочно-заданной функции

Умения

1.Найти предел кусочно-заданной функции.

Дана функция

Найти предел при .

Решение. Так как нам нужно найти предел при , мы рассматриваем вторую часть функции, где

Ответ: предел функции при равен 2.

27. Нахождение односторонних пределов

Понятия

8.Число называется правым пределом функции в точке ( ), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство .

9.Число называетсялевым пределом функции в точке ( ), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство .

Умения

1. Найти односторонние пределы функции

Решение. Рассмотрим предел справа:

Рассмотрим предел слева:

2. Найти односторонние пределы функции

Решение. Рассмотрим предел слева:

Рассмотрим предел справа:

28. Нахождение односторонних пределов у функций с параметром

Понятия

8.Число называется правым пределом функции в точке ( ), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство .

9.Число называетсялевым пределом функции в точке ( ), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство .

Умения

1.Нахождение односторонних пределов у функции с параметром.

Дан предел функции с параметром .

Найти данный предел.

Решение.

.

Предположим, что

.

29. Нахождение пределов функции одной переменной при n, стремящемся к бесконечности

Умения

1. Нахождение пределов функции одной переменной при .

Найти ,если .

Решение:

.

Умножив и разделив выражение, находящееся под знаком предела, на , получим

30. Частичный предел функции. Нахождение нижнего и верхнего пределов функций

Понятия

24.Число называетсячастичным пределом функции в точке (или при ), если существует последовательность значений аргумента , сходящаяся к и состоящая из чисел , отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

25. Нижним пределом функции при называется наименьший из частичных пределов при .

26. Верхним пределом функции при называется наибольший из частичных пределов при .

Умения

1.Найти нижний и верхний предел функции.

Дана функция Найти нижний и верхний пределы функции при .

Решение. Рассмотрим предел данной функции при

Он принимает такое значение при 0 и . Получаем, что 0 и являются нижним и верхним пределом данной функции соответственно.

Ответ. 0 – нижний предел, - верхний предел функции

Поиск по сайту: