Теорема о замене бесконечной малых функций им эквивалентным

При раскрытии неопределенностей вида , при вычислении пределов сомножители можно заменять эквивалентными бесконечно малыми.

Умения

1.Сравнивать бесконечно малые функции.

Решение: Это бесконечно малые функции.

функции эквивалентны -

Решение: Это бесконечно малые функции.

Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то функции и одного порядка малости.

Решение: Это бесконечно малые функции.

функция более высокого порядка, чем -

Решение: Это бесконечно большие функции.

и одного порядка роста.

13. Нахождение порядка малости бесконечно малой функции

Понятия

10.Функция называется бесконечно малой в точке , если предел этой функции в точке равен нулю.

18.Простейшая бесконечно малая , где - постоянный коэффициент, эквивалентная бесконечно малой ( ), называется ее главной частью, а - порядком малости.

Умения

1.Найти порядок малости бесконечно малой функции.

Решение. Данная функция является бесконечно малой, поэтому для того чтобы найти ее порядок малости, необходимо сравнить ее с бесконечно малой функцией. Для этого возьмем простейшую бесконечно малую функцию при . И рассмотрим в пределе их отношение.

­ порядок малости.

2.Найти порядок малости бесконечно малой функции .

Решение. Данная функция является бесконечно малой, поэтому для того чтобы найти ее порядок малости, необходимо сравнить ее с бесконечно малой функцией. Для этого возьмем простейшую бесконечно малую функцию при . И рассмотрим в пределе их отношение.

­ порядок малости.

14. Нахождение порядка роста бесконечно большой функции

Понятия

11.Функция называется бесконечно большойв точке , если предел этой функции в точке равен бесконечности.

19.Пусть и - две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно большими в точке . Функции и называются в точке бесконечно большими одного порядка роста, если равен конечному числу, отличному от нуля.

20.Пусть и - две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно большими в точке . Функции и называются в точке эквивалентными бесконечно большими, если .

21.Пусть и - две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно большими в точке . Функция называются в точке бесконечно большой более высокого порядка роста, чем , если , и обозначается .

22.Пусть и - две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно малыми в точке . Функции и называются в точке несравнимыми бесконечно большими, если не существует.

23.Простейшая бесконечно большая , где - постоянный коэффициент, эквивалентная бесконечно большой , называется ее главной частью, а - порядком роста.

Умения

1. Найти порядок роста бесконечно большой функции

Решение. Данная функция является бесконечно большой, поэтому для того чтобы найти ее порядок роста, необходимо сравнить ее с бесконечно большой функцией. Для этого возьмем простейшую бесконечно большую функцию при . И рассмотрим в пределе их отношение.

- порядок роста.

2.Найти порядок роста бесконечно большой функции

Решение. Данная функция является бесконечно большой, поэтому для того чтобы найти ее порядок роста, необходимо сравнить ее с бесконечно большой функцией. Для этого возьмем простейшую бесконечно большую функцию при . И рассмотрим в пределе их отношение.

­ порядок роста.

15. Нахождение главной части бесконечно малой и бесконечно большой функции

Понятия

17.Простейшая бесконечно малая , где - постоянный коэффициент, эквивалентная бесконечно малой ( ), называется ееглавной частью, а - порядком малости.

23.Простейшая бесконечно большая , где - постоянный коэффициент, эквивалентная бесконечно большой , называется ее главной частью, а - порядком роста.

Умения

1. Выделить главную часть бесконечно малой функции и бесконечно большой функции.

Решение. Это бесконечно малая функция.

Поэтому сравниваем с простейшей бесконечно малой функцией.

главная часть равна

2. Выделить главную часть бесконечно малой функции и бесконечно большой функции.

Решение. Это бесконечно большая функция.

Поэтому сравниваем с простейшей бесконечно большой функцией.

главная часть равна

16. Погрешность, совершаемая при замене бесконечно малой функции ее главнойчастью

Утверждения

Поиск по сайту: