3.3.1. Прямолінійний рух точки. Якщо траєкторією руху матеріальної точки є пряма, то такий рух називається прямолінійним. Систему відліку оберемо так, щоб одна з координатних осей співпадала з траєкторією. В цьому випадку координатний і натуральний способи задання руху еквівалентні.
Якщо рівняння руху точки по траєкторії має вигляд , то на підставі формул (3.9), (3.15) одержимо
(3.16)
; ;
Тут враховано, що для прямої .
3.3.2. Рівнозмінний прямолінійний рух точки. Прямолінійний рух точки називається рівнозмінним, якщо в кожний момент часу
.
Якщо , то рух називається рівноприскореним, при – рівносповільненим, якщо – рівномірним.
За означенням рівнозмінного руху
,
або
.
Інтегруючи останню рівність
(3.17)
одержимо
Тут – початкова швидкість точки.
З іншого боку
або
де . Після інтегрування знаходимо
(3.18)
(3.19)
Формули (3.17) та (3.18) визначаюсь основні кінематичні співвідношення рівнозмінного прямолінійного руху. Якщо в них покласти , то одержимо відповідні формули для рівномірного прямолінійного руху
; .
3.3.3. Рівнозмінний криволінійний рух точки. Довільний рух матеріальної точки називається рівнозмінним, якщо в кожен момент часу . Основні кінематичні співвідношення для такого руху при натуральному способі задання мають вигляд
(3.20)
; ; ; .
По аналогії з п.3.3.2 для рівнозмінного криволінійного руху одержимо такі співвідношення
(3.21)
; ; .
Якщо в них покласти , то одержимо відповідні співвідношення для криволінійного рівномірного руху
(3.22)
; ; .
Задачі до розділу 3
Задача 3.1. Літак в момент посадки на смугу включив гальмівну систему. За перші 20 секунд він проїхав 1100 м, а протягом наступних 10 секунд ще 325 м. Визначити при якій швидкості почалося гальмування літака, чому дорівнювало його сповільнення, якщо воно було сталим; яку відстань проїхав літак до зупинки і за який час?
Розв’язання. Початок і час відліку виберемо в місці і в момент дотику літака до смуги. Тоді
На смузі літак здійснює рівнозмінний прямолінійний рух, для якого
(1)
.
В моменти часу с і с знаходимо м і м.
На підставі (1) одержимо
(2)
Підставляємо числові значення в співвідношення (2)
Розв’язавши дану систему, знаходимо: м/с, м/с2.
Для визначення часу зупинки літака використаємо умову , з якої знаходимо
с.
Визначаємо шлях літака до зупинки
м.
Задача 3.2. Матеріальна точка здійснює прямолінійний рух із стану спокою з прискоренням, яке пропорційне часу. За перші дві секунди точка пройшла відстань 0,16 м. Визначити середню швидкість і середнє прискорення точки за час від восьмої до десятої секунди.
Розв’язання. В початковий момент часу маємо
За умовою задачі , де – коефіцієнт пропорційності. На підставі залежності можна записати
.
Інтегруючи цю залежність, одержимо
або
(1)
.
Рівність (1) визначає закон зміни швидкості з часом.
Враховуючи в рівності (1) співвідношення , можна записати
або
.
Після інтегрування визначаємо закон зміни відстані з часом
(2)
.
Для визначення значення використаємо умову м.
м/с3.
Тоді основні кінематичні характеристики руху точки запишуться у вигляді
.
Середні швидкість і прискорення за час с визначаємо за формулами
м/с;
м/с2.
Задача 3.3. Рух матеріальної точки в площині задано рівняннями . Визначити рівняння траєкторії, а також швидкість, дотичну і нормальну складові прискорення, повне прискорення та радіус кривини траєкторії в момент часу с.
(1)
Розв’язання Для визначення траєкторії необхідно із рівнянь руху виключити час . З другого рівняння визначаємо і підставляємо в перше рівняння
.
Рівняння (1) визначає параболу вісь якої співпадає з віссю (рис. 1).
Визначаємо проекції вектора швидкості на координатні осі і швидкість точки
; м/с; .
Аналогічно визначаємо проекції вектора прискорення і повне прискорення точки
Рис. 1. До розв’язку задачі 3.3.
м/с2; ; м/с2.
Визначаємо тангенціальну складову прискорення
.
Нормальну складову прискорення можна визначити за формулою
.
Радіус кривини траєкторії визначаємо із співвідношення
.
Знаходимо значення шуканих величин в момент часу с
м/с; м/с2; м/с2;
м/с2; м.
Задача 3.4. Автомобіль, рухаючись із стану спокою рівноприскорено по кільцевій ділянці дороги радіусом 200 м, через дві хвилини розвинув швидкість 108 км/год. Визначити швидкість автомобіля через одну хвилину після початку руху, його повне прискорення і шлях пройдений автомобілем за цей час.
Розв’язання. В початковий момент руху автомобіля маємо
Основні кінематичні співвідношення криволінійного рівнозмінного руху (3.21) в даному випадку мають вигляд
,
де – стале тангенціальне прискорення.
В момент часу сшвидкість дорівнює м/с.
Тоді
або
м/с2.
Визначаємо кінематичні характеристики руху автомобіля в момент часу с.