Момент силы и момент импульса относительно точки
И оси. Плечо силы
r
Пусть в точке «А» приложена сила F , радиус вектор точки «А»,
проведенный из точки «О», равен r (рис.8.1). Момент силы N относи-
тельно точки (в данном случае точки «О»), равен векторному произведению
радиус-вектора r этой точки на вектор силы F , действующей на эту точ-
ку:
= r × F
N=rFsina , (8.1)
где a - угол между векторами r и F .
(Точка, rотносительно которой записан
| |
вектор N - это точка, из которой прове-
дён радиус-вектор (на рис.8.1, 8.2 - точка
“O”)).
Проекция момента силы на не-
которую ось (Z) называется моментом
силы относительно этой оси.
Вектор F можно разложить на
две составляющие - параллельную к оси
Z ( F|| ) и перпендикулярную к ней ( F^ ,
рис. 8.1):
F = F + F
Вектор F^ в свою очередь разложим на
r
составляющие параллельную и перпендикулярную к радиусу R ( FR ,
r
Fτ , рис. 8.1) , где R - длина перпендикуляра, проведённого от оси Z к
точке (точка А). Следовательно: r
= + ⇒ F = + + ,
r r r r r
r r r r r r
| |
r r r r r r
^ R || R
N =[rF]=[r(F|| + FR + Fτ)]=[rF||]+[rFR]+[rFτ]
Обозначим
N|| = [rF||] ; NR = [rFR] ; Nτ =[rFτ] (8.3)
rrrr
N = N + N + N
N N N
Из свойств векторного произведения (вектор N перпендику-
лярен каждому из сомножителей) следует, что N|| и NR перпендику-
лярны к оси Z (рис. 8.1a,б), поэтому:
N N 0 (8.5)
Рис.8.2
Найдём Nτ,Z (рис. 8.2 ,в). Из свойств векторного произведения и рисунка
r
видно, что угол между Nτ и осью Z (угол b) равен углу между вектором
r и радиусом R. (Углы, стороны которых взаимно перпендикулярны: R
перпендикулярно к Z, r к Nt ). Следовательно:
= × cos β
Из определения векторного произведения:
,
где g- угол между r и Ft . Этот угол равен 90° (рис. 8.1 , 8.2,в).
Поэтому: (8.6)
t , Z
Из рисунка 8.2 в следует:
r cos β = R => Nt ,Z = FτR
Подставим это выражение в
ур-е (8.4) и учтем (8.5):
NZ=FtR (8.7)
На рисунке 8.3 ось Z
перпендикулярна плоскости
рисунка, d-длинна перпенди-
куляра, опущенного из оси Z
на линию вдоль которой дей-
r
ствует сила F^ . Величина d называется плечом силы.
d = R sin θ ⇒ NZ = Ft R = Ft d/ sin θ (8.8)
Из рис. (8.3):
Fτ / sinθ = F^
Следовательно:
(8.9)
Моментом импульса L относительно точки называется величина, равная:
L = [rp] (8.10)
r
Момент импульса , относительно оси Z равен проекции вектора L на эту
ось. Повторяя все вышеизложенное (заменив вектор F на вектор P ),
получим:
(8.11)
Смысл обозначений в (8.11) аналогичен тем, что были приняты для мо-
мента силы.
Момент импульса и момент инерции тела
Относительно оси. Уравнение моментов. Закон дина-
Мики вращательного движения твердого тела
Поиск по сайту:
|