Связь между консервативной силой

И потенциальной энергией

Найдем связь между консервативной силой и потенциальной

энергией на примере силы тяжести и силы упругости.

Потенциальная энергия части в поле сил тяжести определяется

выражением (12.3). Если частица находится в точке с координатой у (рис.

12.1), то в формуле (12.3) высоту h надо заменить на y. Тогда получим:

E_п = mgy ⇒ = mg

Из рис.12.1: mg_y = -mg . Сравнивая два последних уравнения, находим

mg_y = - . (13.1)

Для силы упругости:

E_п = =>

Из рис. (12.2): ⇒

F_уп,x = - (13.2)

Соотношения типа (13.1),(13.2) справедливы для консервативной

силы и в общем случае:

¶E_п

, (13.3)

¶l

r

где F_l - проекция вектора консервативной силы F на направление оси,

обозначенной индексом «l ».

Выберем направления, совпадающие с координатными осями «x»,

«y», «z». Тогда из (13.3) получим:

¶ E_п ¶ E_п ¶ E_п

- ;- ;- .(13.4)

r

r r r

r

F = - e_x - e_y - e_z . (13.6)

Если имеется некоторая скалярная функция f(x,y,z), то выраже-

ние

¶ f ¶ f ¶ f

- e_x - e_y - e_z

¶ x ¶ y ¶ z

является вектором. Этот вектор называется градиентом функции f и обо-

значается символом

grad f либо Ñf

( Ñ называется оператором “набла”, Ñf читается: "набла эф” или “гра-

диент эф”).

Таким образом, соотношение (13.6) можно записать в виде:

. (13.7)

Вектор консервативной силы равен градиенту потенциальной энергии,

взятому с противоположным знаком. (Фактически уравнение (13.7) -

сокращенная запись уравнения (13.6)).

Градиент функции Ñf - это вектор, направленный в сторону

быстрейшего возрастания функции f. Знак «-» в уравнении (13.7) показы-

вает, что консервативная сила направлена в сторону быстрейшего убыва-

ния потенциальной энергии. Например, в поле сил тяжести потенциальная

энергия убывает с уменьшением высоты, в этом же направлении (т.е.

«вниз») направлен вектор силы тяжести.

Работа неконсервативных сил и механическая

Энергия

В общем случае на систему тел действуют кроме консервативных

сил и другие силы, которые в дальнейшем будем называть неконсерва-

тивными. Работа всех сил А, действующих на систему, равна сумме работ

консервативных сил А_к и сил неконсервативных А_нк:

А = А_к + А_нк (14.1)

Тогда:

А_нк = А - А_к (14.2)

Работа всех сил определяется соотношением (11.12), а работа консерватив-

ных сил - соотношением (12.1). Подставим эти уравнения в (14.2):

А_нк = (E_к,II - E_к,I) - (E_п,I - E_п,II) =>

Величина

E = E_к + E_п (14.3)

называется механической энергией (или полной механической энергией).

Следовательно, работа неконсервативных сил равна приращению (изме-

нению) механической энергии системы:

А_нк =Е_I – Е_II =∆E (14.4)

Поиск по сайту: