Энергия при вращательном движении
Рассмотрим тело, центр инерции
которого (точка “O”) в начальном поло-
жении (I) имеет скорость u1, в конечном
(II) – u2; центр инерции двигается по тра-
ектории «l»(рис.11.1); тело вращается
вокруг некоторой оси; направление оси в
пространстве не меняется.
Найдем работу, которая совер-
шается при таком движении. Движение
центра инерции описывается вторым
законом Ньютона (§7).
r
F = ma ,
Работа при поступательном движении Ап результирующей силы F равна
(уравнение(10.4)):
Aп = ∫ Fdl (11.2)
l
Вращательное движение описывается законом динамики враща-
тельного движения (уравнение(9.16)):
NZ = IZ b (11.3)
Работу при вращении Авр найдем из выражения (10.8):
∆j
Aвр = ∫ NZdj , (11.4)
Работа A всех сил будет равна:
Dj
A = Aп + Aвр = ∫ Fdl + ∫ NZdj , (11.5)
l 0
Подставим в (11.5) уравнения (11.1) и (11.3):
Dj
A = ∫ madl + ∫ I bdj . (11.6)
l 0
Т.к. a = , b = , то:
Dj
A = ∫ mdu + ∫ IZdw . (11.7)
l 0
Учтем, что u = ;
Следовательно:
A = ∫ mυdυ + ∫ IZωdω (11.8)
В уравнение (11.8) учтено: в первом интеграле переменная - это u , по-
этому пределы надо брать для этой переменной (в начале пути u1,
в конце – u2); аналогично для второго интеграла – переменная w
(в начале пути w1, в конце -w2). Постоянные m и Iz - вынесем за знак
∫ . Тогда r2
udu = d( ) : u =uu cos 0 =u2 ⇒
r r u2 w2
2 2
u2 w1
mu2 w2
2 2
| |
r r u r2
udu = d( ) ; wdw = d( ) (11.9)
С учетом (11.9), получим:
A = + IZ ⇒
u1 w1
| | 2 2 2 2
A = ( - ) + ( - )
2 2 2 2
A = ( + ) - ( + )
| |
mu2 mu1 IZw2 IZw1
2 2 2 2
или
mu2 IZw2 mu1 IZw1
2 2 2 2
Величина
Eк = + (11.11)
называется кинетической энергией. Первое слагаемое
Eк.п = (11.11а)
называется кинетической энергией поступательного движения и связано
со скоростью центра инерции. Второе слагаемое
Eк.в = (11.11б)
называется кинетической энергией вращательного движения. Следова-
тельно:
A = Eк,II - Eк,I = DEк , (11.12)
- работа всех сил, действующих на тело, равна приращению (изменению)
кинетической энергии.
Если тело не вращается (т.е. двигается только поступательно), то 2 2
A = DEк = -
2 2
Если тело только вращается, то A = DEк = -
| |
mu2 mu1
2 2
Izw2 Izw1
2 2
Пример: колесо катится со скоростью u
(рис.11.2). В этом случае колесо еще и вращается
относительно оси, проходящей через центр тяжести
колеса (точка “O”):
mu2 Izw2
2 2
Найдем связь w и u. Пусть центр колеса прошел путь l, равный длине
окружности колеса l = 2pR. Время этого движения t равно t = l/u. За
это время каждая точка колеса (например, точка “A”) совершила полный
оборот, т.е. повернулась относительно оси вращения на угол 2p 2p 2p 2p u
t l 2pR R
Следовательно:
Eк = +
mu2 mR2u2
2 2R2
r
| |
w = = u = u =
mu2 Iz u
2 2 R
Момент инерции колеса (обруч) относительно оси, проходящей через его
центр (точку “O”) и перпендикулярной плоскости колеса, равен
Iz = mR2 . Таким образом
Eк = + ⇒ Eк = mu2
Поиск по сайту:
|