Ускорение. Нормальное и тангенциальное
Ускорение.
Скорость при движении тел может меняться как по величине, так
и по направлению (рис. 3.1):
Du =u2 -u1 изменение скорости за время Dt .
Определение ускорения: r ∆υ dυ r
(3.1)
∆t dt
Т.к.
r r r
u = ⇒ a = = = u = r (3.2)
| |
a = = = υ
r dr r du d r r
dt dt dt2
Ускорение равно первой производ-
ной от скорости или второй производной от
радиус - вектора по времени.
Ускорение характеризует быстроту
изменения вектора скорости. Оно направлено
так же как Du при ∆t®0. Из рис. 3.1 видно,
что вектор направлен в сторону “закруг-
ления” траектории. Подставим в (3.1) вектор
u , выражен через его проекции (уравнение
(2.5))
Рис.3.1
r d r r dvx r dvy r
a = (uxex +uyey ) = ex + ey . (3.3)
| |
dt dt dt
Выразим вектор a через проекции ax , ay
a = axex + ayey . (3.4)
Из (3.3) и (3.4) находим:
2 dux
ux = ⇒ ax = = = ux = x
du
ay = = = uy = y
dt dt
м м
| |
ax = , т.к. &&&
dt dt dt dt2
аналогично для ay : & &&
Из (3.2) получим: .
с2
Малый участок криволинейной траекто-
рии всегда можно представить как дугу окружно-
сти радиуса R (рис. 3.2). Этот радиус называется
радиусом кривизны траектории для данной точки
кривой. Центр окружности (точка О) называется
центром кривизны траектории. Из сказанного
выше следует, что вектор a всегда направлен в
сторону центра кривизны. Разложим вектор a на
две составляющие: одна из них an направлена по
радиусу кривизны, вторая at - по касательной
(т.е. по линии перпендикулярной к радиусу кри-
a = an + at
Составляющая an называется нормальным (или центростремительным)
ускорением и характеризует быстроту изменения направления вектора
скорости.
(3.6)
Составляющая at называется тангенциальным (или касательным)
ускорением и характеризует быстроту изменения вектора скорости по
величине. Следовательно, модуль вектора at должен быть равен:
(3.7)
Так как an перпендикулярна at , то:
a = a + at2
Примеры.
1. Прямолинейное движение: радиус
кривизны R® ¥ (направление скорости не ме-
няется). Из (3.6) получим:
an = 0 ⇒ a = aτ
2. Криволинейное движение с постоянной
по величине скоростью u = const :
aτ = = 0 ⇒ a = an
3. Равнопеременное движение: a = const => .
Из (3.4) получим (после интегрирования левой и правой части)
dux = axdt ; = dt ⇒ux -u0x = axt ⇒
u0x 0
ux = u0 x + axt
Из(2.6) следует :
x t2 t
∫dx=∫u dt ⇒ x- x0 =∫(u +axt)dt ⇒ x = x0 +uox×t + 2 (3.11) x0 t1 0
Аналогично для оси y: uy = u0y + ayt
y = y0 +u0 y ×t +
| |
(3.12)
Например: тело брошено под углом a к
горизонту вверх со скоростью u0 с высо-
ты h ( рис.3.3).
x0=0; y0=h; ax=0; ay=-g
u0x =u0 cosa ;uoy =u0 cos(90 -a) =u0 sina
x = u0 cosa × t; y = h +u0 sina × t -
Рис.3.3
Поиск по сайту:
|