IV. Дифференциальное исчисление

Производная функции

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Справедливы следующие правила:

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Основные формулы дифференцирования:

Пример 1. Найти значение производной функции f(x) в точке ,

если .

Решение.

Функция f(x) представляет собой алгебраическую сумму двух функций:

Следовательно: по правилу 2.

Функция p(x) есть композиция логарифмической и тригонометрической функций, а значит, по правилу 5

Функция q(x) есть композиция степенной и тригонометрической функций, следовательно, по правилам 1, 5

Таким образом:

при

Ответ: .

Пример 2. Найти значение производной функции f(x) в точке x₀ = 2, если .

Решение:

Функция f(x) представляет собой произведение двух функций: .

Следовательно, по правилу 3 .

Согласно правилу 2, .

Функция q(x) есть композиция функций: логарифмической и линейной, так как

При преобразовании функции q(x) были использованы свойства степени и свойства логарифма.

Таким образом:

по правилам 1, 5.

Найдем :

При x₀ = 2

Ответ:

Производные высших порядков функции

Производная f'(x) называется производной первого порядка от функции f(x).

Производная (f'(x))' называется производной второго порядка от функции f(x).

Обозначение: f^II(x).

(f^II(x))' = f^III(x) – производная третьего порядка от f(x).

(f^III(x))' = f^IV(x) – производная четвертого порядка от f(x) и т. д.

Если f^(n–1)(x) – производная (n – 1) порядка функции от f(x), то (f^(n–1)(x))' = f⁽ⁿ⁾(x) – производная n-го порядка от f(x).

Пример 3. Найти производную третьего порядка от функции f(x) = cos²x.

Решение:

(правило 5).

(правило 5).

Ответ:

V. Интегральное исчисление

Понятие неопределенного интеграла и его свойства

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех точек этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).

Если F(x) – первообразная для функции f(x) и С – некоторая постоянная, то (F(x) + C) также есть первообразная для f(x).

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество функций (F(x) + C), являющихся первообразными для f(x).

Обозначение:

Основные свойства определенного интеграла:

Таблица основных интегралов

Методы интегрирования

5.3.1. Непосредственное интегрирование. Нахождение интегралов

с помощью таблицы интегралов и основных свойств интеграла

Пример 1. Найти интеграл: .

Решение:

Согласно свойствам 1, 2, 3 интеграл примет вид:

По таблице интегралов находим:

Следовательно,

Обычно сумму всех неопределенных постоянных обозначают одной буквой:
С = С₁ + С₂ + С₃.

Пример 2.

Найти интеграл .

Решение:

Рассмотрим подынтегральную функцию . Представим ее в виде композиции двух функций: степенной и линейной .

Согласно свойству 4 и формуле (1) таблицы интегралов, определяется интеграл:

5.3.2. Метод замены переменной

При нахождении интегралов вводится новая переменная, с помощью которой значительно упрощаются подынтегральные функции и интегралы принимают табличный вид. Определив интеграл по новой переменной, обратной подстановкой возвращаются к исходной переменной.

Пример 3.

Найти интеграл .

Решение.

Интеграл является нетабличным. Выполним замену переменной: .Найдем дифференциалы от левой и правой частей равенства и выразим из него xdx.

Таким образом, подынтегральная функция по переменной у имеет упрощенный вид, а интеграл сводится к табличному интегралу:

Возвращаясь к переменной х, имеем:

Следовательно: .

Поиск по сайту: