aij – общий элемент определителя,
где i – номер строки, j – номер столбца.
Миноромэлемента aij определителя D называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием×строки и столбца, содержащих взятый элемент.
Обозначение: Mij.
Пример.
– минор элемента а12.
– минор элемента а33.
Алгебраическим дополнением элемента аij называется минор этого элемента, умноженный на коэффициент (–1)i+j.
Обозначение: Аij = (–1)i+j × Mij.
Пример.
.
.
Теорема:
Если , то
, где i – номер строки,
или
, где j – номер столбца.
Пример.Вычислить определитель разложением по элементам:
1) второй строки; 2) третьего столбца.
Решение:
1) i =2, .
.
.
.
.
2) i = 3, .
.
.
.
.
Ответ: .
Решение систем линейных уравнений методом определителей
(метод Крамера)
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: x1, x2, x3:
(коэффициенты aij и свободные члены bi считаются заданными).
Решение: составим определители :
, , , ,
где D называют определителем системы, а определители Dxiполучены из основного определителя D заменой свободными членами bi элементов соответствующего столбца.
Особые случаи:
1) если D ¹ 0, то система имеет единственное решение;
2) если D = 0, Dxi ¹ 0, то система несовместна;
3) если D = Dxi = 0, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо она решений не имеет.
Пример.
Решить систему линейных уравнений:
Решение: составим определители D, Dx, Dy, Dz и найдем их значения.
(D ¹ 0, следовательно, система имеет единственное решение).
.
.
.
Найдем решение системы:
Ответ: (3; 2; –1).
II. Аналитическая геометрия
Координаты вектора в пространстве.
Действия над векторами в координатной форме
Пусть M(x; у; z) – координаты точки в пространстве.
Выберем: – единичные векторы на соответствующих осях координат:
Всякий вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов :
,
где – координаты вектора в пространстве.
Длина вектора вычисляется по формуле .
Рассмотрим две точки пространства: и
Найдем координаты вектора : .
Таким образом, – координаты вектора
Длина вектора определяется по формуле .
Справедливо следующее утверждение:
пусть: и тогда
.
Пример 1.
Найти расстояние между точками А и В, если известно, что А(–2;3;1) и В(2;1;5).