Написать уравнение прямой l, перпендикулярной плоскости p:
, проходящей через точку .
Решение.
1. – нормальный вектор к плоскости p.
2. , где точка М(x, y, z) лежит на искомой прямой l.
Тогда
– уравнение прямой l.
Ответ: .
III. Введение в теорию пределов функций
Определение: число А называется пределом функции y = f(x) при , если для любого числа , существует такое, что при выполняется неравенство .
Обозначение: .
Основные свойства пределов:
Функция f(x) называется непрерывнойв данной точке a, если выполняется равенство:
Замечательные пределы:
1. – первый замечательный предел.
2. – второй замечательный предел.
Техника вычисления пределов
Пример 1.
Найти .
Решение.
Функция – непрерывная, графиком ее является парабола. Следовательно, заменяя ее аргумент предельным значением, найдем значение предела:
.
Ответ: –8.
Пример 2.
Найти
При непосредственном нахождении предела и числитель и знаменатель обращаются в нуль, таким образом, получается неопределенность вида .
Чтобы раскрыть неопределенность , разложим числитель на множители:
,
и сократим дробь на выражение (х – 2), предел которого при равен 0.
Тогда
Ответ: 7.
Пример 3.
Найти .
Решение:
Непосредственно подстановкой убеждаемся, что выражение обращается в неопределенность вида .
Разложим числитель и знаменатель на множители:
и сократим дробь на выражение (х + 1). Таким образом
.
Ответ: ¥.
Пример 4.
Найти: .
Решение:
При непосредственно подстановкой имеем неопределенность вида .
Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной – . Тогда
Поскольку , то .
Ответ: 2.
Пример 5.
Найти:
Решение.
Непосредственно подстановкой имеем неопределенность . Раскроем неопределенность, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное к знаменателю дроби:
. Тогда
Ответ: 4.
Пример 6.
Найти: .
Решение:
Найдем пределы, используя первый замечательный предел
Таким образом: .
Замечание:
, так как если , то .
Значит .
Ответ:
Пример 7.
Найти: .
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к виду , и используем второй замечательный предел .
Если , то . Значит:
Ответ: .
Рассмотрим теперь методику раскрытия неопределенностей вида 1¥ в точке, как всегда на конкретных примерах.
ПРИМЕР 8.
Вычислить предел: 9. Р = = (выделим в скобках единицу) = = (в показателе выделим выражение обратное выражению 2(2 – х), получим) .
Аналогично, но без комментариев.
ПРИМЕР 9
Теперь попроще и потому покороче
ПРИМЕР 10.
ПРИМЕР 11
ПРИМЕР 12
а) [неопределенность
б) [неопределенность ]
в)
[неопределенность ]
ПРИМЕР 13
а вот здесь получаем неопределенность ; перейдем к неопределенности , для этого
ПРИМЕР 14
имеем , но вторая форма записи второго замечательного предела