Основные теоретические сведения. Основной закон гравитационных взаимодействий установлен в 1687г

Основной закон гравитационных взаимодействий установлен в 1687г. Исааком Ньютоном путем обобщения опытных данных и называется законом всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс точек, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними и направленной вдоль прямой, соединяющей эти точки (рис. 1).

Величину силы тяготения можно определить по формуле:

, (1)

где – сила притяжения, действующая со стороны массы на массу ;

– сила притяжения, действующая со стороны массы на массу ;

– коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной или постоянной тяготения;

– расстояние между взаимодействующими материальными точками.

Закон всемирного тяготения справедлив и для двух однородных шаров, при этом – это расстояние между центрами взаимодействующих тел.

Во всех остальных случаях тела необходимо разбивать на элементарные массы, находить силу тяготения по формуле (1), а затем геометрически складывать (интегрировать), что является часто непростой задачей.

В СИ: (ньютон-квадратный метр на килограмм в квадрате). Таким образом, два точечных тела массой по каждое, находящиеся на расстоянии друг от друга, притягиваются с силой . Очень малая величина показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае больших масс. Так, например, сила тяготения между Землей и Луной составляет .

Гравитационное взаимодействие осуществляется посредством гравитационного поля (поля тяготения). Это поле порождается телами и так же, как вещество и другие физические поля (например, электромагнитное, ядерное) является одной из форм материи. Основное свойство поля тяготения, отличающее его от других физических полей, состоит в том, что на всякое тело массой , внесенное в это поле, действует сила тяготения , пропорциональная массе тела, т. е.

. (2)

Отсюда следует:

(3)

Вектор не зависит от массы тела , поэтому является характеристикой гравитационного поля, называемой напряженностью. Действительно, после подстановки в формулу (3) выражения (1), получаем:

, (4)

где - масса тела, создающего гравитационное поле;

- масса тела, помещенного в гравитационное поле.

Таким образом, напряженность гравитационного поля – это векторная физическая величина, равная отношению силы тяготения, действующей на тело в данной точке поля, к его массе и имеющая направление силы.

Физический смысл напряженности заключается в том, что она показывает, чему равна гравитационная сила, действующая на тело массой в данной точке поля.

Единицей напряженности гравитационного поля в СИ является:

(ньютон на килограмм).

Напряженность является силовой характеристикой поля, так как определяется через силу гравитационного взаимодействия. С энергетической точки зрения поле тяготения описывается потенциалом :

,

где – потенциальная энергия тела, – его масса.

Потенциал поля тяготения – это скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии тела в данной точке поля к его массе.

Единицей потенциала гравитационного поля в СИ является:

(джоуль на килограмм).

Физический смысл потенциала поля тяготения заключается в том, что он показывает, чему равна потенциальная энергия тела единичной массы, помещенного в данную точку поля.

Напряженность и потенциал связаны между собой соотношением:

, (5)

где – градиент скаляра ( - единичные векторы).

Знак минус в выражении (5) указывает, что вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала .

Обоснование метода

Знание напряженности гравитационного поля Земли во всех точках крайне необходимо для решения многих научных и практических задач. Оно необходимо при запусках ракет, в гравиметрической (гравитационной) разведке полезных ископаемых, в решении многих вопросов геодинамики и космологии и т. д.

Наиболее удивительным свойством гравитационных сил, отличающим их от всех других сил в природе, является их способность сообщать всем телам независимо от массы одинаковые ускорения. Поэтому, если пренебречь сопротивлением воздуха и вращением Земли, силу тяготения при свободном падении можно определить по второму закону Ньютона . В то же время, согласно выражению (2), . Приравняв правые части этих уравнений, получаем равенство напряженности гравитационного поля и ускорения свободного падения, т. е. . Из равенства величин следует равенство их единиц измерения:

Таким образом, для нахождения напряженности гравитационного поля Земли достаточно определить ускорение свободного падения.

Величина g может быть найдена путем взвешивания или из опытов по свободному падению тел. Более точно ее можно найти, измеряя период колебаний математического или физического маятника.

Физическим маятником называют любое твердое тело, совершающее колебания под действием сил тяготения относительно неподвижной горизонтальной оси подвеса не проходящей через центр масс тела (рис.2).

При малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с периодом (временем одного полного колебания), определяемым по формуле:

(6)

где – приведенная длина физического маятника;

– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку (ось качания);

– его масса;

– расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.

Точка , лежащая на прямой на расстоянии от точки подвеса маятника , называется центром качания физического маятника. Точка подвеса и центр качания для любого физического маятника обладают свойством взаимозаменяемости. Если ось подвеса сделать проходящей через центр качания , то точка прежней оси подвеса совпадает с новым центром качаний, а приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Колеблющийся маятник также обладает свойством изохронности, т. е. его период колебания при малых отклонениях не зависит от амплитуды.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, колеблющаяся под действием силы тяготения. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маятника определяется выражением:

, (7)

где – длина маятника.

Математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся масса сосредоточена в одной точке – центре масс, тогда, подставив выражение (7) в формулу (6), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника:

. (8)

Из сопоставления формул (8) и (6) видно, что приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Воспользуемся физическим маятником в виде массивного шарика, подвешенного на нити. Приведенной длиной маятника следует считать расстояние от точки подвеса до центра качания маятника.

Однако измерить эту величину на опыте невозможно, поэтому применим способ, исключающий необходимость ее точного измерения. Из рисунка 3 видно, что , где – расстояние от точки подвеса до центра масс шарика, – некоторое расстояние от центра качания до центра масс. Если измерить периоды колебаний этого маятника при двух значениях приведенной длины и взять их разность, то тем самым исключаются неизвестные значения и и остается только разность . Для и из формулы (6) имеем:

и

Вычитая из первого выражения второе, получим:

Отсюда

. (9)

Описание установки

Схема установки представлена на рисунке 4.

Основание (1) оснащено регулируемыми ножками (2), которые позволяют производить выравнивание прибора. В основании закреплена колонка (3), на которой зафиксирован верхний кронштейн (4) и нижний кронштейн (5) с фотоэлектрическим датчиком (6).

На кронштейне (4) с помощью двух нитей (бифилярно) для создания колебаний в одной плоскости подвешен массивный металлический шарик (7), выполняющий роль физического маятника.

Длина маятника регулируется при помощи воротка (8), а её величина определяется с помощью шкалы (9) на колонке (3).

Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно выбранном положении. Фотоэлектрический датчик соединен разъемом с привинченным к основанию универсальным миллисекундомером (10).

Поиск по сайту: