Сто доведень теореми Піфагора

Ця теорема була відома і в Стародавній Індії. Про це свідчать наступні слова , які містяться у «Сутрах». 1). Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів його більшої і меншої сторін.(рис.10)     2) Квадрат на діагоналі квадрата в два раза більше самого квадрата.(рис.2) Найстаріше доведення теореми Піфагора знаходиться в одній із праць Бхаскари і полягає у слідуючому (рис.3). Нехай ABDE – квадрат, сторона якого дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника АВС(АВ=с, ВС=а, АС= b). Нехай DK , тоді ∆АВС=∆ВDК=∆DEL=∆AME. Тому KL=CM=LM= =CK=a-b. Отже,

Ще одне доведення теореми Піфагора викладено Евклідом в «Началах». Як формуліровка, так і доведення мають у Евкліда чисто геометричний характер. На гіпотенузі і катетах прямокутного трикутника ВАС (рис.4) побудовано відповідні квадрати і доводиться, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах.

Більшість із даних після Евкліда доведень теореми Піфагора основані на тому, що рівно складені фігури рівновеликі: квадрати. Побудовані на катетах і гіпотенузі, розбиваються на многокутники так, що кожному многокутнику із скаду квадрата на гіпотенузі відповідає рівний многокутник одного із квадратів на катетах. В таких випадках досить подивитися на малюнок. Щоб зрозуміти усе доведення. Багдадський математик та астроном Х ст.Анарицій дав таке доведення – (рис. 5)

Інші доведення основані на тому,що, додаючи до квадратів на катетах і до квадрату на гіпотенузі рівні фігури, отримуємо рівновеликі фігури. Наприклад на рисунку 6 до Піфагорової фігури добавлені трикутники 2 і3, рівні даному трикутнику 1. Доведення теореми Піфагора зводиться до доведення рівновеликості шестикутників DABGFE і CAJKHB. Останнє видно з того, що пряма DG ділить пополам перший , пряма СК – другий шестикутник. А якщо повернути половину першого шестикутника DABG навколо точки А на 90°, то вона співпаде з САJK, половиною другого шестикутника.

Ще одне доведення (рис. 7). Тут Піфагорові фігура достроєна до прямокутника KLMN. Віднімаючи многокутники 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, отримуємо квадрат, побудований на гіпотенузі, а віднімаючи від того ж прямокутника фігури, рівновеликі тільки що переліченим (5; 6; 7 і зафарбовані прямокутники), отримуємо квадрати 8 і 9, побудовані на катетах, і доводимо, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів 8 і 9.

	В деяких випадках при доведенні використовуються алгебраїчні тотожності. Виконавши рисунок 8 і записавши площу квадрата через його елементи, квадрат гіпотенузи (сторони більшого квадрата) виразиться через суму квадратів катетів трикутника.   На рис. 9 доведення теореми Піфагора основано на теорії подібності. ~ ∆САВ, тому (1). ∆АВС ~ ∆DCB, тому , або (2). Додавши (1) рівність та (2), отримаємо:

У давнину теорему Піфагора називали «віслючим мостом». Це тому, що учнів, які завчили теорему напам’ять, але не розуміли її, називали віслюками – для них вона була ніби непрохідним мостом.

Також теорему Піфагора учні називали «вітряним млином». Про теорему складали вірші такі як:

Пифагоровы штаны

Во все стороны равны,

малювали карикатури.

Задачі

1)Задача Брахмагупти

Знаючи висоту свічки та висоту вертикальної жердини, а також відстань між ними, знайти довжину тіні жердини

2).Задача з «Книги абака» Л. Пізанського (Фібоначчі).

Дві башні, одна висотою 40 футів, а друга – 30 футів, розташовані на відстані 50 футів одна від одної. До розташованої між ними криниці злітаються одночасно з обох башен дві птички і, пролітаючи з однаковою швидкістю, одночасно прибувають до криниці. Знайти відстань криниці від башен

3) Теорема Ейлера

Над озером тихим

С полфута раз мером

Высится лотоса цвіт.

Он рос одиноко,

И ветер поривом

Отес его в ссторону. Нет

Боле цветка над водой

Нашел жн рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места,где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глибока?

Задача про тополю

На березі річки тополя росла,

І вітру порив її стовбур зламав.

Тополя упала, і стовбур її

Кут прямий з течією ріки утворив.

Пам’ятай: в тому місці ріка

Три фути була шириною.

Верхівка зхилилась до краю,

Залишивши три фути всього над водою.

Прошу, тепер швидше скажи мені ти:

Тополя , якої була висоти?

7) - Скажи мені славетний Піфагоре, скільки учнів відвідують твою школу і слухають твої бесіди?

- Ось скільки, - відповів філософ: - половина вивчає математику, чверть – музику, сьома частина перебуває в мовчанні і, крім того, є ще три жінки.

Скільки ж учнів було в школі Піфагора?

Література

1. Коменський Я. А. Велика дидактика. – К.,1940. (1; с. 114,125,126)

2. Коменський Я. А. Избранные педагогические сочинения. – М.: Педагогика, 1982.- (Т. 1; с. 176, 304)

3. Лизинский В. М. Приемы и формы учебной деятельности. – М.: Центр «Педагогический поиск», 2002

4. Освітні технології: Навч. – метод. посіб. / О.М. Пєхота, А.З. Кіктенко, О. М. Любарська та ін.; За заг. ред. О.М. Пєхоти. – К.:А.С.К., 2001

5. Сиротинко Г.О. Сучасний урок: інтерактивні технології навчання. – Х.: Видав. гр. «Основа» , 2003

6. Дидактичні ігри на уроках математики. 5-6 класи / Уклад. І. С. Маркова. – Х.: Видав. гр. «Основа», 2006

7. Булатова О. С. Искусство современного урока. – М., 2006

8. Русаков, Андрій Епоха великих відкриттів у школі 90-х років. – К.: Вид. дім «Шкільний світ»:Вид. Л. Галіцина, 2006

9. Капіносов А., Гаук М., Кондратьєва Л. Математика. 5 клас. Дидактичні матеріали для тематичних атестацій з математики. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2003.

10. Капіносов А., Математика. 6 клас. Дидактичні матеріали для тематичних атестацій з математики. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2003.

11. Капіносов А., Геометрія 7 клас. Посібник для рівневого навчання з геометрії. Ч.І. Навчальні завдання. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2004.

12. Сухарева Л. С. Завдання для усної роботи, математичні диктанти та тести. Геометрія. 10 – 11 клас. – Х. : Видав. гр. «Основа» , 2008

13. Мерзляк А. Г. , Полонський В. Б. , Якір М. С. Математика . 5 клас: Підручник. – Х.: Гімназія , 2005.

14. Мерзляк А. Г. , Полонський В. Б. , Якір М. С. Математика . 6 клас: Підручник. – Х.: Гімназія , 2006.

15. Мерзляк А. Г. , Полонський В. Б. , Якір М. С. Математика . 5 клас: Книга для вчителя. – Х.: Гімназія , 2005.

16. Мерзляк А. Г. , Полонський В. Б. , Якір М. С. Математика . 6 клас: Книга для вчителя. – Х.: Гімназія , 2006.

17. Мерзляк А. Г. , Полонський В. Б. , Якір М. С. Математика . 5 клас: Робочий зошит. – Х.: Гімназія , 2005.

18. Мерзляк А. Г. , Полонський В. Б. , Якір М. С. Математика . 6 клас: Робочий зошит. – Х.: Гімназія , 2006.

19. Беденко В. М. Цифра, цифра, кома…: Зошит з друкованою основою. – К.: А.С.К., 1996.

20. Погорєлов О.В. Геометрія : Планіметрія: Підручник для 7-9 кл. серед. шк. – К.: Освіта, 1994.

21. Погорєлов О.В. Геометрія : Стереометрія: Підручник для 10-11 кл. серед. шк. – 4-те вид. - К.: Освіта, 1998-2003.

22. Прасолов В.В. , Шарыгин И.Ф., Задачи по стереометри. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. , 1989.

23. Роєва Т.Г. , Синельник Л. Я. Математика в таблицях . 5-6 клас% Навч. посібник . – Х.: Видавнича група «Академія», 2002.

24. Інтерактивні технології на уроках математики /Упорядник І.С. Маркова. – Х.: Видавн. гр. «Основа», 2007.

25. Федь А. М. Эстетическое воспитание на урокх по основам наук. – к.: Рад. школа, 1984.

26. Кравчук Василь, Янченко Галина Алгебра. Підручник для 7 класу./ За редакцією Слєпкань З. І. Видання друге, перероблене та доповнене. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2003.

27. Глейзер И.Г. История математики в школе VІІ – VІІІ Кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982.

Поиск по сайту: