ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ДОМАШНІХ ЗАВДАНЬ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До виконання завдань модуля

„ВИПАДКОВІ ПОДІЇ ТА ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ”

з курсу „ВИЩА МАТЕМАТИКА”

Затверджено на засіданні кафедри

вищої математики.

Протокол № 2 від 20.10.2008

Харків 2010

Методичні вказівки до виконання завдань модуля „Випадкові події та випадкові величини” з курсу „Вища математика” для бакалаврів напрямів підготовки 6.040106; 6.050202; 6.050502; 6.060101; 6.060103 / Укладачі: О.О. Аршава, С.Г. Ізмайлова, Л.І. Щелкунова. – Харків, ХДТУБА, 2010. – 76 с.

Рецензент А.П. Харченко

Кафедра вищої математики

ВСТУП

Дане видання призначено для надання допомоги студентам в організації самостійної роботи на тему “Випадкові події та випадкові величини”.

Результативність самостійної роботи забезпечується системою контролю, яка включає наступні етапи:

· виконання індивідуальних домашніх завдань;

· виконання контрольної роботи на тему “Випадкові події та випадкові величини”;

· виконання та складання підсумкового завдання з теми “Випадкові події та випадкові величини”;

· виконання модульної контрольної роботи за всіма темами модуля.

Методичні вказівки містять робочу програму модуля, індивідуальні домашні завдання, варіанти підсумкового завдання і приклад його виконання, а також варіанти тестових завдань, приклад виконання модульного контролю і питання для підготовки до його складання.

ПРОГРАМА МОДУЛЯ

Основні поняття теорії ймовірностей

1 Випробування і події.

2 Класифікація випадкових подій.

3 Класичне означення ймовірності, її властивості.

4 Відносна частота. Статистична ймовірність.

5 Геометрична ймовірність.

Теорема додавання ймовірностей

1 Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

2 Повна група подій.

3 Протилежні події.

Теорема множення ймовірностей

1 Незалежні й залежні події.

2 Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

3 Імовірність появи хоча б однієї події.

4 Умовна ймовірність.

5 Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Наслідки теорем додавання та множення

1 Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

2 Формула повної імовірності.

3 Імовірність гіпотез. Формули Бейеса.

Повторення випробувань

1 Формула Бернуллі.

2 Локальна теорема Лапласа.

3 Інтегральна теорема Лапласа.

4 Імовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в не- залежних випробуваннях.

5 Формула Пуассона.

Класифікація випадкових величин. Дискретна випадкова величина

1 Означення випадкової величини.

2 Дискретні та неперервні випадкові величини.

3 Закон розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин.

4 Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини.

5 Закон Пуассона.

Числові характеристики дискретних випадкових величин

1 Математичне сподівання дискретної випадкової величини.

2 Імовірнісний зміст математичного сподівання.

3 Властивості математичного сподівання.

4 Математичне сподівання числа появи події в незалежних випробу-ваннях.

5 Дисперсія дискретної випадкової величини. Формула для обчислення дисперсії.

6 Властивості дисперсії.

7 Дисперсія числа появи події в незалежних випробуваннях.

8 Середнє квадратичне відхилення, його властивість.

Інтегральна функція розподілу ймовірностей випадкової величини

1 Означення інтегральної функції розподілу.

2 Властивості інтегральної функції.

3 Графік інтегральної функції.

Диференціальна функція розподілу ймовірностей

Неперервної випадкової величини

1 Означення диференціальної функції розподілу.

2 Імовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий інтервал.

3 Властивості диференціальної функції.

Закони розподілу та числові характеристики неперервних

Випадкових величин

1 Закон рівномірного розподілу, його інтегральна та диференціальна функції.

2 Числові характеристики рівномірного розподілу.

3 Нормальний розподіл, його параметри, нормальна крива.

4 Числові характеристики нормального розподілу.

5 Імовірність попадання в заданий інтервал нормальної випадкової вели-чини.

6 Обчислення ймовірності заданого відхилення.

7 Правило трьох сигм.

Закон великих чисел

1 Однаково розподілені взаємно незалежні випадкові величини.

2 Нерівність Чебишева.

3 Теорема Чебишева, її сутність.

4 Теорема Бернулі.

5 Поняття збіжності за ймовірністю.

ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ДОМАШНІХ ЗАВДАНЬ

Означення ймовірності

Варіант 1

1 В урні знаходиться 30 чорних, 24 червоних, 32 синіх та 14 білих куль. Навмання з урни беруть 1 кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде білою або чорною?

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка поставлена навмання в круг радіуса R, буде знаходитись у середині вписаного в круг квадрата?

3 У ящику знаходяться картки з номерами від 1 до 50. Яка ймовірність того, що номер навмання взятої картки не містить цифри чотири?

Варіант 2

1 Учасники жеребкування беруть жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер навмання взятого жетона не містить цифри 4?

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка поставлена навмання в квадрат зі стороною а, буде знаходитися в колі, вписаному в цей квадрат?

3 Корoбка містить 5 однакових, занумерованих кубіків. Навмaння по одному дістають усі кубіки. Знайти ймовірність того, що номера всіх кубіків з`являться в зростаючій послідовності.

Варіант 3

1 Абонент забув дві останні цифри телефонного номера, і пам`ятаючи, що вони різні та утворюють двозначне число менше 40, навмання набрав дві цифри. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри.

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка поставлена в рівносторонній трикутник зі стороною а, буде в середині кола, яке вписано в цей трикутник?

3 У ящику 20 деталей, серед яких 10 пофарбованих. Навмання беруть 4 деталі. Знайти ймовірність того, що всі деталі будуть пофарбованими?

Варіант 4

1 Серед 300 приладів, які взяті були на перевірку, 20 – несправних. Знайти ймовірність того, що взятий на перевірку прилад буде справним?

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка поставлена в коло радіуса R, буде в середині рівностороннього трикутника, вписаного в це коло.

3 Пристрій містить 7 елементів, з яких 4 – зношені. При включенні пристрою випадково включаються 2 елементи. Знайти ймовірність того, що включилися незношені елементи.

Варіант 5

1 Учасники жеребкування беруть жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер навмання взятого жетона не містить цифру 3?

2 На площині накреслені два концетричних кола, радіуси яких 5см і 10 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, яка кинута у велике коло, попаде у кільце, утворене цими колами.

3 У групі 20 студентів, серед яких 8 відмінників. Зп списком навмання відібрані 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів 5 відмінників.

Варіант 6

1 У процесі запису прізвищ учасників деяких зборів, загальне число яких дорівнює 300, виявилось, що початковою літерою у 10 прізвищ була А, у 6 – Є, у 9 – І, у 12 – О, у 5 – У і у 3 – Ю, а решта прізвищ починалася з приголосних. Знайти ймовірність того, що прізвище учасника цих зборів, якого викликали навмання, починалося з голосної?

2 Коло радіуса R містить мале коло радіуса r. Знайти ймовірність того, що точка, яка навмання кинута у велике коло, попаде також і в мале.

3 У ящику 10 деталей, серед яких 7 пофарбованих. Знайти ймовірність того, що 3 вибрані деталі будуть пофарбовані?

Варіант 7

1 Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 вибирають навмання одну цифру. Знайти ймовірність того, що буде вибрана непарна цифра?

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка кинута в шар радіуса R попаде в середину куба, вписаного в цю кулю?

3 Кинули 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що в сума очок на випавших гранях дорівнює 5, а добуток – 4.

Варіант 8

1 У ящику 100 деталей, із них 10 бракованих. Навмання беруть 3 деталі. Знайти ймовірність того, що усі взяті деталі браковані.

2 Набираючи номер телефону, абонент забув 3 останні цифри і, памя`таючи, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри.

3 Кинули 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що в сумі випаде 7 очок?

Варіант 9

1 У крамницю надійшла партія взуття одного фасону й розміру, але різного кольору. Паpтія складає 40 пар чорного кольору, 26 – коричньового, 22 – червоного. Знайти ймовірність того, що взята навмання пара взуття буде червоного кольору?

2 Із шести карток з буквами Т, Є, Р, М, О, С вибирають навмання по черзі 4. Знайти ймовірність того, що отримаємо слово «СОРТ».

3 Устрій містить 9 елементів, з яких 3 – зношені. При включенні устрою випадково включаються 4 елементи. Знайти ймовірність того, що включилися незношені елементи.

Варіант 10

1 Збори, на яких присутнні 30 чоловіків, в тому числі 7 жінок, вибирають делегацію з 4 людей. Знайти ймовірність того, що в делегацію увійдуть 3 жінки і 1 чоловік.

2 Кинули 2 гральні кісткі. Знйти ймовірність того, що сума випавших очок дорівнює 8?

3 У квадрат зі стороною а кинули точку. Знайти ймовірність попадання точки в круг, вписаний в цей квадрат?

Варіант 11

1 Усі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках і вміщені в урну. Після перемішування карток з урни беруть 1 картку. Знайти ймовірність того, що число на вибраній картці буде кратним 5?

2 У партії з 15 пральних машин 5 виготовлені на заводі А, 10 – на заводі В. Випадково відібрано 5 машин. Знайти ймовірність того, що 2 з них виготовлені на заводі А.

3 Під час пострілу по мішені відносна частота влучень дорівнює 0,75. Знайти число влучень під час 40 пострілів.

Варіант 12

1 Кинули 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок на випавших гранях дорівнює 9?

2 На станцію прибули 10 вагонів різної продукції, які помічені номерами від 1 до 10. Знайти ймовірність того, що серед 5 відібраних для контролю вагонів, будуть вагони з номерами 2 і 5?

3 Відносна частота нормального сходження насіння дорівнює 0,97. З посіяного насіння зійшло 970 одиниць. Скільки насіння було посіяно?

Варіант 13

1 Навмання вибране натуральне число, яке менше 10. Знайти ймовірність того, що вибрано просте число.

2 Комісія по якості раз у місяць перевіряє якість продуктів в 2 із 30 магазинів, серед яких 2 вам відомі.Знайти ймовірність того, що протягом місяця відомі магазини будуть перевірені?

3 На відрізку натурального ряда від 1 до 20 знайти відносну частоту простих чисел.

Варіант 14

1 Кинули 2 монети. Чому дорівнює ймовірність того, що на обох монетах випадуть цифри?

2 Виготовлена партія з 200 виробів, у якій виявлено 3 бракованих. Навмання вибрано 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед 5 відібраних виробів 1 буде бракований?

3 У куб вписано кулю. Яка ймовірність того, що точка, кинута навмання всередину куба, виявиться в середині кулі?

Варіант 15

1 Яка ймовірність того, що в навмання вибраному двозначному числі будуть однакові цифри?

2 Із 100 вироблених деталей 10 мають дефект. Для перевірки відібрані 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей 2 будуть з дефектом?

3 Знайти відносну частоту появи надпису при 100 киданнях монети у випадку, коли надпис з’явився 48 разів.

Варіант 16

1 Із букв слова «диференціал» навмання вибирається одна буква. Знайти ймовірність того, що ця буква голосна?

2 Із 20 акціонерних товариств (АТ) 4 є банкрутами. Громадянин придбав по 1 акції з 6 АТ. Знайти ймовірність того, що серед придбаних акцій 2 банкрути.

3 Гральну кістку кидають 90 разів. Шестірка з’явилася 12 разів. Знайти відносну частоту появи шестірки.

Варіант 17

1 Кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на гранях обох кісток випаде однакове число очок.

2 На склад привезли 50 ящиків комплектуючих виробів, серед них виявилось 4 ящики некомплектних. Навмання взяли 6 ящиків. Знайти ймовірність того, що серед взятих ящиків 1 буде некомплектний.

3 Знайти відносну частоту появи простих чисел на відрізку натурального ряду від 41 до 50.

Варіант 18

1 У книзі 300 сторінок. Знайти ймовірність того, що навмання відкрита сторінка буде мати номер, кратний 5?

2 На 6 картках написані букви І, В, А, К, Х, Р. Картки навмання розкладають в ряд. Чому дорівнює ймовірність, що отримане слово – ХАРКІВ.

3 На площині намальовані еліпси так, що їх центри співпадають. Навмання кидають точку. Знайти ймовірність того, що точка попаде в малий еліпс? (Площа еліпса дорівнює ав).

Варіант 19

1 У партії з 10 деталей 7 – стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 взятих навмання деталей 4 – стандартних.

2 У партії з 20 холодильників 8 вироблені на заводі А, 12 – на заводі В. Випадково відібрано 6 холодильників. Знайти ймовірність того, що 2 з них вироблені на заводі А.

3 Під час пострілу по мішені відносна частота влучень дорівнює 0,8. Знайти число влучень при 60 пострілах.

Варіант 20

1 Серед 25 студентів групи 10 дівчат. Розігруються 5 білетів. Знайти ймовірність того, що серед володарів білетів будуть 2 дівчини.

2 У партії зі 100 виробів 5 – нестандартних. Навмання вибирають 6 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них не буде нестандартних.

3 Знайти відносну частоту появи простих чисел на відрізку натурального ряду від 51 до 70.

Варіант 21

1 В ящику 15 куль, з яких 5 блакитних і 10 червоних. Навмання вибирають 6 куль. Знайти ймовірність того, що серед вибраних куль 2 блакитні.

2 Кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума випавших очок дорівнює 8, а різниця 4.

3 На полиці 25 підручників, з яких 5 з теорії ймовірностей. Студент навмання бере 2 підручники. Знайти ймовірність того, що взяті підручники з теорії ймовірностей.

Варіант 22

1 Із 50 виготовлених деталей 10 мають дефект. Для перевірки відібрані 5 деталей. Яка ймовірність того, що серед відібраних деталей 2 будуть бракованими?

2 У ящику 4 блакитних і 5 червоних куль. Навмання беруть 2 кулі. Знайти ймовірність того, що ці кулі різного кольору.

3 Під час пострілу відносна частота влучень дорівнює 0,65. Знайти число влучень під час 70 пострілів.

Варіант 23

1 У партії з 200 виробів виявлено 3 з дефектом. Навмання вибрано 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед вибраних виробів не має бракованих.

2 Кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума випавших очок дорівнює 8, а різниця – 2.

3 У коло радіуса R вписаний квадрат. Яка ймовірність того, що точка, кинута навмання в коло, попаде в квадрат?

Варіант 24

1 У книзі 200 сторінок. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання відкрита сторінка буде мати номер, кратний 3?

2 Із 30 акціонерних товариств (АТ) 6 є банкрутами. Чому дорівнює ймовірність того, що серед 8 куплених акцій 3 будуть банкрутами?

3 Скількома способами можна вибрать 3 особи на 3 різні посади з 10 кандидатів?

Варіант 25

1 У партії з 25 телевізорів 10 виготовлені на заводі А, а 15 – на заводі В. Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 6 телевізорів 2 виготовлені заводом В.

2 Відносна частота сходження насіння дорівнює 0,95. Зійшло 950 зерен. Скільки насіння було посіяно?

3 У ящику 15 куль, з яких 5 блакитних і 10 червоних. Навмання вибирають 6 куль. Знайти ймовірність того, що серед вибраних куль 2 червоні.

Варіант 26

1 У коробці 5 однакових виробів, причому 3 з них пофарбовані. Знайти ймовірність того, серед 2 отриманих виробів 1 буде пофарбований.

2 У коло радіуса R = 5 см вписаний квадрат. Знайти ймовірність того, що точка кинута в коло, попаде в квадрат.

3 Знайти відносну частоту появи простих чисел на відріку натурального ряду від 81 до 100.

Варіант 27

1 У коробці 5 однакових виробів, причому 3 з них пофарбовані. Знайти ймовірність того, серед 2 отриманих виробів 2 будуть пофарбованими.

2 На площині область G обмеженa еліпсом , а область g – еліпсом . В область G кинули точку. Знайти ймовірність того, що точка попаде в область g ? (Площа еліпса дорівнює ав)

3.Під час пострілу по мішені відносна частота влучень дорівнює 0,88. Знайти число влучень під час 50 пострілаів?

Варіант 28

1 У партії з 15 деталей, 6 – стандартних. Навмання відібрані 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей 2 – стандартні.

2 На площині намальовані 2 концентричних кола, радіуси яких 9 см і 6 см. Знайти ймовірність того, що точка, яку кинули у велике коло, попаде також в кільце, утворене цими колами.

3 Для з`ясування якості насіння було відібрано і посіяно 100 насінин. 95 насінин дали нормальние сходження. Знайти відносну частоту сходження насіння.

Варіант 29

1 У партії з 15 деталей, 7 – стандартних. Навмання відібрані 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей 3 – стандартні.

2 Відносна частота влучень по мішені дорівнює 0,85. Знайти число влучень під час 20 пострілів.

3 У кулю радіуса R вписаний куб. Навмання кидається точка. Знайти ймовірність того, що точка попаде в куб. (Об`єм шара , сторона куба ).

Варіант 30

1 Кинуто 2 гральних кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок на випавших гранях дорівнює 9?

2 У партії з 15 кінескопів 10 виготовлені Лвівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед 5 взятих навмання кінескопів 3 – Львівського заводу.

3 У середину круга радіуса R навмання кинуто точку. Знайти ймовірність того, що точка виявиться в середині вписаного в круг правильного трикутника.

Поиск по сайту: