Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рис.4.5

Найдем вероятности p_k:

Для состояния S₀: ;

Для состояний S₁– S_n: ;

Для S_n+1: ; ...

Для S_n+s-1: ;

Для S_n+s: .

Из первых n+1 уравнений получаем:

Из последнего уравнения выражаем: и подставляем в предпоследнее: , . Тогда .

Продолжая аналогию: .

Теперь найдем p₀, подставив полученные выражения в нормировочное условие ( ): . Отсюда .

Показатели эффективности СМО

– Вероятность потери требования в СМО. Особенно часто ею пользуются при исследовании военных вопросов. Например, при оценке эффективности противовоздушной обороны объекта она характеризует вероятность прорыва воздушных целей к объекту. Применительно к СМО с потерями она равна вероятности занятости обслуживанием требований всех n приборов системы. Чаще всего эту вероятность обозначают p_n или p_отк.

– Вероятность того, что обслуживанием требований в системе занято k приборов, равна p_k.

– Среднее число занятых приборов: характеризует степень загрузки обслуживающей системы.

– Среднее число свободных от обслуживания приборов : .

– Коэффициент простоя приборов: .

– Коэффициент занятости оборудования: .

– Средняя длина очереди: , p_k - вероятность того, что в системе находится k требований.

– Среднее число заявок, находящихся в сфере обслуживания: .

– Вероятность того, что число заявок в очереди, ожидающих начала обслуживания, больше некоторого числа m: . Этот показатель особенно необходим при оценке возможностей размещения требований при ограниченности времени для ожидания.

Кроме перечисленных критериев при оценке эффективности СМО могут быть использованы стоимостные показатели:

q_об – стоимость обслуживания каждого требования в системе;

q_ож – стоимость потерь, связанных с простаиванием заявок в очереди в единицу времени;

q_у – убытки, связанные с уходом из системы заявки;

q_k – стоимость эксплуатации каждого прибора в единицу времени;

q^k_пр – стоимость простоя единицы времени k-го прибора системы.

При выборе оптимальных параметров СМО по экономическим показателям можно использовать функцию стоимости потерь в системе (для СМО с ожиданием): T – интервал времени.

Для СМО с отказами: .

Для смешанных: .

Критерий экономической эффективности СМО: , с – экономический эффект, получаемый при обслуживании каждой заявки.

СМО замкнутого типа

Пример. С1, С2, С3 – станки; НЦ – центральный накопитель; B – манипулятор. Транспортная тележка (манипулятор) транспортирует отработанную деталь от станка к накопителю и укладывает ее там, забирает новую деталь (заготовку), транспортирует ее к станку и устанавливает в рабочую позицию для зажима. Во время всего периода, необходимого для выгрузки–загрузки, станок простаивает. Время T_з смены заготовки и есть время обслуживания.

Интенсивность обслуживания станков определяется как , – среднее время обслуживания станка, которое вычисляется как , где n – число заявок. Интенсивность подачи станком заявки на обслуживание определяется как (где – среднеее время обработки детали станком).

Станочная система с однозахватным манипулятором представляет собой СМО с ожиданием с внутренней организацией FIFO: каждая заявка станка на обслуживание удовлетворяется, в случае когда манипулятор занят, заявка становится в очередь и станок ожидает когда манипулятор освободится. Данный процесс марковский, т.е. случайная выдача заявки на обслуживание в определенный момент времени t₀ не зависит от предыдущих заявок, т.е. от течения процесса в предшествующий период. Продолжительность исполнения заявки может быть различной и является случайной величиной, не зависящей от числа поданных заявок. Весь процесс не зависит от того, что произошло ранее момента времени t₀.

В станочной системе число заявок на обслуживание может быть равно 0, 1, 2, ... m, где m – общее число станков. Тогда возможны следующие состояния:

S₀ – все станки работают, манипулятор стоит.

S₁ – все станки, кроме одного, работают, манипулятор обслуживает станок, от которого поступила заявка на смену заготовок.

S₂ – работают m-2 станка, на одном станке идет смена заготовки, другой ожидает.

S₃ – работают m-2 станка, один станок обслуживается манипулятором, два станка ожидают в очереди.

S_m – все станки стоят, один обслуживается манипулятором, остальные ожидают очереди исполнения заказа.

Рис.4.6.

Вероятность перехода в состояние S_k из одного из возможных состояний S₁, S₂, ... S_m зависит от случайного поступления заявок на обслуживание и вычисляется как:

;

p₀ – вероятность того, что все станки работают.

Манипулятор работает при состояниях системы от S₁ до S_m­. Тогда вероятность его загрузки равна: .

Число станков, находящихся в очереди связано с состояниями S₂, – S_m, при этом один станок обслуживается, а (k-1) – ожидают. Тогда, среднее число станков в очереди: .

Коэффициент простоя одного станка (из-за ожидания при многостаночном обслуживании): .

Среднее использование одного станка:

.

Поиск по сайту: