Классификация систем массового обслуживания

По количеству обслуживающих приборов СМО делятся на одноканальные и многоканальные. Многоканальные СМО состоят из нескольких приборов, и каждый них может обслуживать заявку.

Также СМО подразделяются на системы без ожидания и с ожиданием. В первых заявка покидает очередь, если к моменту её прихода отсутствует хотя бы один канал, способный немедленно приступить к обслуживанию данной заявки. Вторые, в свою очередь, делятся на системы без ограничения и с ограничениями по длине очереди.

Также СМО делятся на системы с приоритетами и без них. В свою очередь системы с приоритетом делятся на СМО с прерыванием и без.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Рис.4.3

Найдем вероятности p_k:

Для состояния S₀: , отсюда ;

Для состояния S_1n: , подставляем полученное значение для p₁: . Аналогично, .

Вероятность p₀ найдем из нормировочного условия :

, – геометрическая прогрессия, при r<1 сходится. – вероятность того, что нет заявок.

– вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявки. r=l/m – мера загрузки одноканальной СМО.

В текущий момент времени в системе может быть 0, 1, 2, ..., k, ... заявок с вероятностями p₀, p₁ p₂,... Математическое ожидание количества заявок:

учитывая, что , получим:

.

Средняя длина очереди равна разности между средним числом заявок в системе и средним числом заявок, находящихся под обслуживанием: .

Формулы Литтла

Рис.4.4

Первая формула Литтла позволяет определить время реакции СМО (время пребывания заявки в системе).

Пусть X(t) – число заявок, поступивших в СМО до момента времени t, Y(t) – покинувших СМО до t. Обе функции случайны и увеличиваются скачком на единицу в моменты прихода и ухода заявок. Тогда число заявок в системе в момент времени t можно определить как: . Рассмотрим очень большой промежуток времени T и вычислим среднее число заявок в системе:

.

Интеграл равен площади ступенчатой фигуры, ограниченной функциями X(t) и Y(t), эта сумма состоит из прямоугольников, ширина которых равна единице, а длина – времени пребывания i-ой заявки в системе. Сумма распространяется на все заявки, поступившие в систему за время T. Правую часть домножим и разделим на l: . Tl – среднее количество заявок, пришедших за время T. Поделив сумму всех времен t_i на среднее число заявок, получим среднее время пребывания заявки в системе: .

Совершенно аналогично можно получить среднее время пребывания заявки в очереди: .

Поиск по сайту: