Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Метод искусственных переменных (М-метод)



 

В рассматриваемой вычислительной схеме симплекс-метода для получения начального базисного решения используются дополнительные переменные. Допустимое базисное решение получается в случае, когда ограничения вида « ». Однако для ограничений вида « » или «=» начальное базисное решение может быть недопустимым.

Для получения системы в каноническом виде, обладающей допустимым базисным решением, существует специальный метод. Сначала задача ЛП приводится к канонической форме, в которой все переменные неотрицательные. Затем для каждого ограничения проверяется существование соответствующей базисной переменной. Если ее нет, то вводится новая искусственная переменная с тем же знаком, что и свободный член (искусственных переменных столько, сколько ограничений дающих отрицательную компоненту в первоначальном базисе), играющая роль базисной для данного ограничения. После проверки всех ограничений получается расширенная система в каноническом виде и появляется возможность заполнить начальную симплексную таблицу. Так как введенные переменные не имеют отношения к существу задачи ЛП в исходной постановке, то необходимо добиться обращения в нуль искусственных переменных. для этого составляем новую целевую функцию где - произвольное, большое по отношению задаче число; k - количество искусственных переменных, и ищем максимальное значение Т-функции.

Справедливы следующие утверждения.

1). Если в оптимальном решение Т-задачи все искусственные переменные равны 0, то соответствующие значения остальных переменных дают оптимальное решение исходной задачи.

2). Если имеется оптимальное решение Т-задачи, в котором хотя бы одна из искусственных переменных отлична от 0, то система ограничений исходной задачи несовместна.

3). Если максимум Т-функции равен бесконечности, то исходная задача неразрешима (либо система несовместна, либо максимум неограничен).

На практике, как правило, Т -задачу разбивают на две задачи и решают с помощью двухэтапного симплек-метода.

Этап 1. Рассматривается искусственная целевая функция которая максимизируется при помощи симплекс-метода. Другими словами, производится исключение искусственных переменных. Если максимальное значение вспомогательной задачи равно нулю, то все искусственные переменные обращаются в нуль, и получается допустимое базисное решение начальной задачи. Далее реализуется этап 2. Если максимальное значение вспомогательной задачи положительное, то, по крайней мере, одна из искусственных переменных также положительная, что свидетельствует о противоречивости начальной задачи, и вычисления прекращаются.

Этап 2. Допустимое базисное решение, найденное на первом этапе, улучшается в соответствии с целевой функцией исходной задачи ЛП на основе симплекс-метода, т.е. оптимальная таблица первого этапа превращается в начальную таблицу второго этапа и изменяется целевая функция.

Пример.

Вектор не образует начального допустимого решение (начальное допустимое решение получается приравниванием нулю основных переменных в каноническое системе ограничений). В первое ограничение, дающее отрицательную компоненту, введем искусственную переменную .

Преобразуем систему ограничений, умножив первое и второе уравнение на .

Т -функция имеет вид: Заполняем первую симплекс-таблицу:

 

Базис Свободный Переменные Оценочные
  член             отношения
     
-1 -1
-1
-1 -2  
М М -M  

 

Последняя строка таблицы -это (-М-функция), т.е. . Заполняется она путем выражения искусственных переменных через небазисные переменные (Строки, в которых присутствует искусственная переменная умножаются на и соответствующие их компоненты складываются; в данном случае умножается первая строка. В качестве оценочной строки рассматривается строка , Критерий оптимальности не выполнен. Отрицательный коэффициент соответствует столбцу . Считаем оценочные отношения и находим переменную, выводимую из базиса - .Переходим к новой симплекс-таблице.

 

Базис Свободный Переменные Оценочные
  член             отношения
   
-1 -1  
 
 
-3 -2 -2  
 

 

Последняя строка показывает, что критерий оптимальности выполнен: . Искусственная переменная тоже равна нулю. Допустимое базисное решение получено . Далее, отбросив последнюю строку и столбец с искусственной переменной переходим ко второму этапу.

 

Базис Свободный Переменные Оценочные
  член   отношения
     
-1 -1  
 
 
-3 -2  

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.