Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Малюнок № 6.1. Графік рівняння кола.



 

Вона має властивість . Пригадаємо, за якою формулою визначається відстань між двома точками площини? - . Тоді . Отже, . Звільнившись від кореня, маємо: . Рівняння такого вигляду називається зведеним або нормальним рівнянням кола з центром в точці С і радіусом R. За цим рівнянням можна безпосередньо назвати координати центра і радіус кола. Розкривши дужки в цьому рівнянні, дістанемо таке рівняння: х²-2ах+а²+у²-2bу+b²=R². Позначивши -2ах через А, -2bу через В, а²+b²-R² через С, матимемо рівняння х²+у²+Ах+Ву+С=0, яке називають загальним рівнянням кола. Щоб знайти в такому рівнянні координати і радіус, потрібно виділити в ньому повні квадрати і записати його у вигляді зведеного рівняння кола. Окремим випадком зведеного рівняння кола є таке: . Чому дорівнює в цьому рівнянні а та b? – а=0, b=0. Як проходить таке коло? – центр цього кола знаходиться в початку координат.

Виберемо систему координат і в ній пряму, яка проходить через початок координат. Виберемо на цій прямій точку , яка відмінна від точки . Нехай для простоти викладок точка А лежить в першій чверті (див. малюнок № 6.2.).

Відношення у11 не залежить від вибору точки на прямій. Для доведення цього факту візьмемо на прямій ще одну точку . Розглянемо трикутники ОАА1 та ОВВ1. Оскільки ці трикутники подібні, то із подібності трикутників маємо АА1:ОА1=ВВ1:ОВ1. Але АА11, ОА11, ВВ12 ОВ12. Звідси у1122. Це співвідношення і показує, що відношення у:х не залежить від вибору точки на прямій. Отже, y:х=k. Аналогічні результати ми одержимо, коли візьмемо точки в інших координатних чвертях. Число k характеризує нахил прямої до додатного напрямку осі абсцис. Це відношення дорівнює тангенсу кута між віссю абсцис та прямою . Таким чином, для будь-якої точки, що лежить на прямій, крім точки О, виконується рівність . Помноживши обидві частини рівняння на х, маємо . Це співвідношення виконується і для точки , бо . Рівняння виду у=kх називають рівнянням прямої, яка проходить через початок координат. Крім цього, k=tgα, де α – кут нахилу прямої у=kх до додатного напрямку осі абсцис.

Доведемо обернене: будь-яка точка М111), координати якої задовольняють рівняння у=kх, належить прямій, що задається рівнянням у=kх. Дійсно на прямій у=kx завжди є точка К з абсцисою х1, тобто К(х1;у). Тоді ордината у цієї точки дорівнює kx1. Отже, К(х1; kx1). Це означає, що у=у, тобто К і співпадають. Таким чином, точка М1 лежить на прямій. Ми довели, що при заданому значенні k рівнянню у=kх задовольняють координати точок, які розміщені на деякій прямій лінії, яка проходить через початок координат, і не задовольняють координати точок, які не лежать на цій прямій (малюнок № 6.2.).

Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої.З’ясуємо, який знак має коефіцієнт k в залежності від того, де розміщена пряма? – для цього визначимо знак частки у:х. Ця частка додатна для точок, які розміщенні в І і ІІІ координатних чвертях, і від’ємна – для точок, розміщених в ІІ і ІV чвертях. Таким чином, значення k буде додатнім для прямих, які проходять в І та ІІІ чверті, а від’ємне для прямих, розміщених в ІІ та ІV чверті.

Проведемо тепер пряму, яка буде паралельна прямій y=kx і відсікатиме на осі ординат відрізок довжини b. Виберемо на цій прямій довільну точку М(х;у) і опустимо із неї перпендикуляр ММ' на вісь абсцис. Позначимо через М1 точку перетину цього перпендикуляра з прямою у=kх. Із малюнка № 6.2. видно, що ММ'=ММ11М'. Але ордината М1М' точки М1 дорівнює kx, а ММ1=b. Отже, у=ММ1=ММ11М'=kx+b. Таким чином, ми довели, що координати будь-якої точки прямої задовольняють рівнянню у=kx+b. Отже, пряма має рівняння у=kx+b. Число b називають початковою ординатою прямої, а рівняння виду у=kx+b – рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

 

Малюнок № 6.2. Графік рівняння у=kx.

 

Розглянемо дві прямі L1 та L2 які не проходять через початок координат. якщо прямі паралельні, то вони будуть паралельними одній і тій же прямій, яка проходить через початок координат. Що можна сказати про кутові коефіцієнти цих прямих? – вони будуть однакові. Навпаки, якщо кутові коефіцієнти цих прямих рівні, то прямі паралельні прямій, яка проходить через початок координат. Таким чином, для того, щоб дві прямі були паралельні (якщо жодна із них не паралельна осі координат), необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були рівними. Сказане символічно можна записати так: k1=k2.

Виведемо умову перпендикулярності двох прямих. Проведемо через початок координат дві взаємно перпендикулярні прямі у=k1x і y=k2x. Одна із цих прямих утворює з додатнім напрямком осі абсцис гострий кут, а друга – тупий. Тоді знаки кутових коефіцієнтів цих прямих різні, один додатній, а другий – від’ємний. На першій прямій виберемо точку М111), а на другій – точку М222) (див. малюнок № 6.3.). Кути M1ON1 і M2ON2 рівні, а тому трикутники M1ON1 і M2ON2 подібні. З подібності цих трикутників випливає пропорційність сторін. Отже, маємо │у11│=│у22│. Але │у11│=│k1│ і │у22│=│k2│, а тому , тобто . Оскільки k1 та k2 мають різні знаки, то добуток k1k2 буде від’ємним. Саме тому маємо k1k2=-1. Легко переконатися в справедливості і оберненого твердження: якщо k1k2=-1, то прямі перпендикулярні.

 

Малюнок № 6.3.

Проведемо тепер дві прямі, які не проходять через початок координат. Нехай це будуть прямі y=k1x+b1 і y=k2x+b2. Оскільки кутові коефіцієнти прямих y=k1x і y=k2x та y=k1x+b1 і y=k2x+b2 однакові, то пряма y=k1x і паралельна прямій y=k1x+b1, а пряма y=k2x паралельна прямій y=k2x+b2, які перпендикулярні між собою. Отже, перпендикулярними будуть і прямі y=k1x+b1 і y=k2x+b2. Тоді умовою перпендикулярності двох прямих, заданих рівняннями з кутовими коефіцієнтами буде наступна рівність k1k2= -1.

Наведемо без виведення ряд рівнянь прямої, які будуть потрібні при розв’язуванні задач (див. таблицю № 6.1.).

Виведемо формулу кута між двома прямими y=k1x+b1 і y=k2x+b2 (див. малюнок № 6.4.). Для цього пригадаємо, що кутовий коефіцієнт це тангенс кута нахилу прямої до осі абсцис. Із трикутника МНК видно, що , бо зовнішній кут трикутника МНК. Звідси . Отже, маємо: . Ця формула дозволяє знаходити кут між двома прямими, які задані своїми рівняннями з кутовими коефіцієнтами.

 

рівняння пучка прямих, що проходять через точку М000).
рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки М111) та М222).
Загальне рівняння прямої.

 

Таблиця № 6.1. Види рівнянь прямої.

Малюнок № 6.4.

 

Якщо в загальному рівнянні прямої визначити у, то при В≠0 загальне рівняння прямої приймає вигляд . Якщо позначити - через , а через , то рівняння приймає вигляд , тобто матиме вигляд рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо , то рівняння буде мати вигляд Ах+С=0 або х=а, тобто має рівняння прямої, паралельної осі ординат. Якщо А=0, то маємо рівняння Вх+С=0 або у=b, тобто рівняння прямої, паралельної осі абсцис.

Запишемо умови паралельності і перпендикулярності прямих, заданих своїми загальними рівняннями. Нехай маємо дві прямі та . Якщо і , то , . Виходячи із умови паралельності прямих , маємо або –a1b2=-a2b1. Тоді умова паралельності запишеться так: a1b2-a2b1=0. Оскільки умова перпендикулярності прямих має вигляд k1k2=-1, то для прямих, які задані загальними рівняннями прямої, умова перпендикулярності матиме вигляд a1а2+b1b2=0.

Нехай задано дві прямі та . Якщо ці прямі перетинаються, то координати точки перетину задовольняють обидва рівняння, а це означає, що для знаходження точки перетину двох прямих потрібно розв’язати систему рівнянь: . Пропонуємо студентам самостійно розв’язати наступні вправи, використовуючи виведені раніше формули.

Вправа 1: Знайти точку перетину прямих та .

Вправа 2: Як розміщені прямі на площині? та .

Вправа 3: Записати рівняння прямої, яка проходить через точки , .

Вправа 4: Знайти тангенс кута між прямими та .

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.