2. Основним загальним методом розв’язування нерівностей, як і рівнянь, є метод перетворень. Такі перетворення повинні бути тотожними або рівносильними, бо в противному випадку ми можемо втратити або одержати сторонні корені. Для того, щоб щоразу не перевіряти чи рівносильними були перетворення, в математиці доводять відповідні теореми. Спочатку введемо означення понять „розв’язок нерівності”, „множина розв’язків нерівності”, а потім доведемо теореми про рівносильність нерівностей.
Означення: розв’язком нерівності f(x)>g(x) називається таке значення х0єX, яке перетворює нерівність із змінною в істинну числову нерівність f(х0)>g(х0).
Означення: сукупність усіх розв’язків нерівності прийнято називати множиною розв’язків нерівності або множиною розв’язків нерівності із змінною називається множина істинності відповідного предикату.
Означення: дві нерівності із змінними, називаються рівносильними, якщо вони задані на одній і тій самій множині і множини їх розв’язків співпадають.
Означення: дві нерівності із змінною, які задані на одній і тій самій множні, називаються рівносильними, якщо всі розв’язки однієї нерівності є розв’язками другої нерівності і навпаки.
Дві нерівності можуть бути рівносильними в одній числовій області і нерівносильними в інший числовій області.
Теорема 1: якщо вираз j(x) визначений для всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (І) рівносильна нерівності f(x)+j(x)>g(x)+j(x) (II).
Доведення.
Для доведення теореми використаємо означення рівносильних нерівностей. Саме тому доведення складатиметься з двох частин. У першій слід показати, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), а в другій – що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т1ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т2ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне х0, яке належить множині Т1 і підставимо його у нерівність (І). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(х0)>g(х0).
За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки х0ÎТ1ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(х0). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(х0)>g(х0) ‑ істинна числова нерівність, а j(х0) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(х0)+j(х0)>g(х0)+j(х0) - буде істинною числовою нерівністю. Отже, х0 – розв’язок нерівності (ІІ).
Значення х0 в множині Т1 ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ1. Істинну числову нерівність f(х0)+j(х0)>g(х0)+j(х0) ми можемо одержати із нерівності (ІІ), замінивши в ній х на х0, а це означає, що х0 є розв’язком нерівності (ІІ). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого х0єТ1. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), тобто Т1ÌТ2. Таким чином, першу частину теореми доведено.
У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т1ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т2ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне у0, яке належить множині Т2 і підставимо його у нерівність (ІІ). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(у0)+j(у0)>g(у0)+j(у0). За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки у0ÎТ2ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(у0). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(у0)+j(у0)>g(у0)+j(у0) ‑ істинна числова нерівність, а j(у0) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(у0)>g(у0) буде істинною числовою нерівністю.
Значення у0 в множині Т2 ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ2. Істинну числову нерівність f(у0)>g(у0) ми можемо одержати із нерівності (І), замінивши в ній х на у0, а це означає, що у0 є розв’язком нерівності (І). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого у0єТ2. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І), тобто Т2ÌТ1. Таким чином, другу частину теореми доведено. У першій частині ми довели, що Т1ÌТ2, а другій, що Т2ÌТ1. Тоді на основі означення рівності множин Т1=Т2. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ). Таким чином, теорему доведено повністю, тобто нерівності (І) і (ІІ) рівносильні.
Теорема 2: якщо вираз j(х) визначений і набуває додатних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)>g(x)·j(x) (III).
Доведення теореми 2 складатиметься з двох частин і проводиться аналогічно до доведення теореми 1 або теореми 3. Саме тому пропонуємо студентам довести цю теорему самостійно.
Теорема 3: Якщо вираз j(х) визначений і набуває від’ємних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)<g(x)·j(x) (IV).
Доведення.
Доведення теореми складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (IV). Нехай Т1ÌХ - це множина розв’язків нерівності (І), а Т4ÌХ - це множина розв’язків нерівності (IV). Виберемо в множині Т1 довільне х0ÎТ1 і підставимо у нерівність (І). Після цього одержимо істинну числову нерівність f(х0)>g(х0). Підставивши х0 у вираз j(х), ми одержимо числовий вираз j(х0), який набуває від’ємних значень. Помножимо обидві частини істинної числової нерівності f(х0)>g(х0) на вираз j(х0), що приймає лише від’ємних значень. Тоді, згідно властивостей істинних числових нерівностей, нерівність f(х0)·j(х0)<g(х0)·j(х0) буде істинною числовою нерівністю. Ми можемо одержати її з нерівності (IV), замінивши в ній х на х0. Це означає, що х0 є розв’язком нерівності (IV), тобто х0ÎТ4. Оскільки значення х0ÎТ1 ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента цієї множини. А це означає, що кожен елемент множини Т1, тобто кожен розв’язок нерівності (І), є елементом множини Т4, тобто є розв’язком нерівності (ІУ). Отже, на основі означення підмножини маємо: Т1ÌТ4. Першу частину теореми доведено.
У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (IV) є розв’язком нерівності (І). Виберемо довільне y0єТ4ÌХ і підставимо його у нерівність (IV). Тоді одержимо істинну числову нерівність f(y0)·j(y0)<g(y0)·j(y0). Оскільки j(y0) - це числовий вираз, що приймає від’ємних значень для всіх у0ÎХ. Поділивши на нього обидві частини нерівності f(y0)·j(y0)<g(y0)·j(y0), ми одержимо істинну числову нерівність f(y0)>g(y0) (Чому?). Цю нерівність f(y0)>g(y0) можна одержати з нерівності (І), замінивши х на y0. Отже, y0 є розв’язком нерівності (І). Оскільки y0єТ4 ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елементу y0єТ4. Це означає, що кожен елемент множини Т4 є елементом множини Т1, тобто Т4ÌТ1.
Таким чином, у першій частині ми довели, що Т1ÌТ4., а в другій – що Т4ÌТ1. На основі означення рівності множин це означає, що Т1=Т4. Отже, ми показали, що множини розв’язків нерівностей (І) і (ІV) співпадають. Оскільки вони задані на одній множині Х, то ці нерівності рівносильні. Теорему доведено повністю.