Регресійний аналіз взаємозв’язку, оцінювання щільності та перевірка істинності кореляційного зв’язку на основі рівняння регресії

Важливою характеристикою кореляційного зв'язку є лінія ре­гресії— емпірична в моделі аналітичного групування і теоретич­на в моделі регресійного аналізу. Емпірична лінія регресії пред­ставлена груповими середніми результативної ознаки у_J, кожна з

яких належить до відповідного інтервалу значень групувального фактора Xj. Теоретична лінія регресії описується певною функ­цією Y = f(x), яку називають рівнянням регресії, а Y— теоре­тичним рівнем результативної ознаки.

На відміну від емпіричної, теоретична лінія регресії неперерв­на. Так, уважають, що маса дорослої людини в кілограмах має бути на 100 одиниць менша за її зріст у сантиметрах. Співвідно­шення між масою і зростом можна записати у вигляді рівняння: Y = -100 + х, де y — маса; х — зріст.

Безперечно, така форма зв'язку між масою та зростом людини надто спрощена. Насправді збільшення маси не жорстко пропор­ційне до збільшення зросту. Люди одного зросту мають різну ма­су, проте в середньому зі збільшенням зросту маса зростає. Для точнішого відображення зв'язку між цими ознаками в рівняння слід увести другий параметр, який був би коефіцієнтом пропор­ційності при х, тобто Y=- 100 + bx.

Рівняння регресії в такому вигляді описує числове співвідно­шення варіації ознак х і у в середньому. Коефіцієнт пропорційності при цьому відіграє визначальну роль. Він показує, на скільки оди­ниць у середньому змінюється у зі зміною х на одиницю. У разі прямого зв'язку b — величина додатна, у разі оберненого — від'ємна.

Подаючи у як функцію х, тим самим абстрагуються від мно­жинності причин, штучно спрощуючи механізм формування ва­ріації у. Аналіз причинних комплексів здійснюється за допомо­гою множинної регресії.

Різні явища по-різному реагують на зміну факторів. Для то­го щоб відобразити характерні особливості зв'язку конкретних явищ, статистика використовує різні за функціональним видом регресійні рівняння. Якщо зі зміною фактора х результату змі­нюється більш-менш рівномірно, такий зв'язок описується лі­нійною функцією Y - а + bх. Коли йдеться про нерівномірне співвідношення варіацій взаємозв'язаних ознак (наприклад, ко­ли прирости значень у зі зміною х прискорені чи сповільнені або напрям зв'язку змінюється), застосовують нелінійні регре­сії, зокрема:

степеневу Y = ах^b ;

гіперболічну

параболічну Y = а + bх + сх² тощо.

Вибір та обґрунтування функціонального виду регресії ґрун­тується на теоретичному аналізі суті зв'язку. Нехай вивчається зв'язок між урожайністю та кількістю опадів. Надто мала і надто велика кількість опадів спричинюють зниження врожайності, ма­ксимальний її рівень можливий за умови оптимальної кількості опадів, тобто зі збільшенням факторної ознаки (опади) урожай­ність спершу зростає, а потім зменшується. Залежність такого роду описується параболою Y = а + bх + сх².

Вивчаючи зв'язок між собівартістю у та обсягом продукції х,

використовують рівняння гіперболи де a — пропорційні

витрати на одиницю продукції, b — постійні витрати на весь ви­пуск.

Зауважимо, що теоретичний аналіз суті зв'язку, хоча й дуже важливий, лише окреслює особливості форми регресії і не може точно визначити її функціонального виду. До того ж у конкрет­них умовах простору і часу межі варіації взаємозв'язаних ознак х і у значно вужчі за теоретично можливі. І якщо кривина регресії невелика, то в межах фактичної варіації ознак зв'язок між ними досить точно описується лінійною функцією. Цим значною мі­рою пояснюється широке застосування лінійних рівнянь регресії:

Y = а + bх.

Параметр b (коефіцієнт регресії) — величина іменована, має розмірність результативної ознаки і розглядається як ефект впливу х на у. Параметр а — вільний член рівняння регресії, це значення у при х = 0. Якщо межі варіації х не містять нуля, то цей параметр має лише розрахункове значення.

Параметри рівняння регресії визначаються методом наймен­ших квадратів, основна умова якого — мінімізація суми квадра­тів відхилень емпіричних значень у від теоретичних Y:

Поиск по сайту: