Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Декартова система координат. Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції



 

Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції, обмеженої кривою віссю Ох і прямими навколо осей Ох і Оy виражається відповідно, формулами

 

 

Рис. 21

 

(4.12)

 

х+dx
х

 

Рис. 22

(4.13)

 

Зауваження. На рис. 22 елемент тіла обертання утворюється обертанням навколо осі Оy прямокутника зі сторонами y і dx, що відстоїть від осі Оy на величину х. Тоді елемент об’єму

 

.

 

Приклад 4.15. Обчислити об’єми тіл, утворених обертанням фігури, обмеженої однією півхвилею синусоїди і відрізком

осі Ох навколо

а) осі Ох; б) осі Оy.

 

Розв’язання.

 

Якщо тіло утворюється обертанням фігури, обмеженої кри­вими і прямими відповідно, навколо осей Ох і Оу, то об’єми тіл обертання вира­жаються формулами:

 

(4.14)

(4.15)

 

Приклад 4.16. Знайти об’єм тіла, утворенного обертанням фігури, обмеженої кривими , навколо осі Ох.

Розв’язання. Знайдемо абсциси точок, в яких перетинаються графіки функцій , розв’язуючи систему рівнянь.

 

Рис 23

 

 

Застосуємо формулу (4.14):

 

 

Приклад 4.17. Знайти об’єм тіла, утворенного обертанням фігури, обмеженої кривими xy = 4 i x + y = 5, навколо осі Oy.

Розв’зання.

 

 

Рис. 24

Знайдемо абсциси точок перетину гіперболи і прямої , розв’язуючи систему рівнянь,

 

Маємо

 

Застосуємо формулу (4.15):

 

 

Якщо тіло утворюється обертанням навколо осі Оy криво­лінійної трапеції, обмеженої кривою , віссю Оу і прямими у=с, у=d(c<d) то об’єм тіла обертання (рис. 25) вира­жається формулой (4.16)

 

Рис 25

 

. (4.16)

 

Приклад 4.18.Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої віссю Оу, кривою і прямою .

Розв’язання.

 

 

Рис 26

 

 

Якщо тіло утворюється обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої кривими і пря­мими то об’єм тіла обертання дорівнює

 

. (4.17)

 

Приклад 4.19. Знайти об’єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі Оу фігури, обмеженої кривою

 

 

Рис. 27

 

Розв’язання. Виконаємо (рис. 27). Оскільки , маємо коло радіуса 1 с центром в точці (2;0). Об’єм тіла обертання (об’єм шини) є різницею об’ємів тіл, що утворюється обертанням двох криволінійних трапецій навколо осі Оу. Одна з трапецій обмежена лініями х = 0, у = – 1, у =1, . Друга трапеція обмежена лініями – х = 0, у = – 1, у = 1,

Інакше кажучи, в данному прикладі тіло утворене обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої кривими і прямими , .

Тому за формулою (4.17) маємо

 

 

Інтеграл , оскільки він дорівнює площі півкола радіуса 1, тому

Зауваження.

1. Якщо тіло утворене обертанням навколо осі Ох або Оу кривої, заданої в параметричному вигляді, то в формулах (4.12) – (4.15) слід виконати відповідну заміну змінної.

2. Якщо тіло утворене обертанням навколо полярної осі криволінійного сектора, обмеженого кривою і проме­нями , то об’єм тіла

 

. (4.18)

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.