Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції, обмеженої кривою віссю Ох і прямими навколо осей Ох і Оy виражається відповідно, формулами
Рис. 21
(4.12)
х+dx
х
Рис. 22
(4.13)
Зауваження. На рис. 22 елемент тіла обертання утворюється обертанням навколо осі Оy прямокутника зі сторонами y і dx, що відстоїть від осі Оy на величину х. Тоді елемент об’єму
.
Приклад 4.15. Обчислити об’єми тіл, утворених обертанням фігури, обмеженої однією півхвилею синусоїди і відрізком
осі Ох навколо
а) осі Ох; б) осі Оy.
Розв’язання.
Якщо тіло утворюється обертанням фігури, обмеженої кривими і прямими відповідно, навколо осей Ох і Оу, то об’єми тіл обертання виражаються формулами:
(4.14)
(4.15)
Приклад 4.16. Знайти об’єм тіла, утворенного обертанням фігури, обмеженої кривими , навколо осі Ох.
Розв’язання. Знайдемо абсциси точок, в яких перетинаються графіки функцій , розв’язуючи систему рівнянь.
Рис 23
Застосуємо формулу (4.14):
Приклад 4.17. Знайти об’єм тіла, утворенного обертанням фігури, обмеженої кривими xy = 4 i x + y = 5, навколо осі Oy.
Розв’зання.
Рис. 24
Знайдемо абсциси точок перетину гіперболи і прямої , розв’язуючи систему рівнянь,
Маємо
Застосуємо формулу (4.15):
Якщо тіло утворюється обертанням навколо осі Оy криволінійної трапеції, обмеженої кривою , віссю Оу і прямими у=с, у=d(c<d) то об’єм тіла обертання (рис. 25) виражається формулой (4.16)
Рис 25
. (4.16)
Приклад 4.18.Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої віссю Оу, кривою і прямою .
Розв’язання.
Рис 26
Якщо тіло утворюється обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої кривими і прямими то об’єм тіла обертання дорівнює
. (4.17)
Приклад 4.19. Знайти об’єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі Оу фігури, обмеженої кривою
Рис. 27
Розв’язання. Виконаємо (рис. 27). Оскільки , маємо коло радіуса 1 с центром в точці (2;0). Об’єм тіла обертання (об’єм шини) є різницею об’ємів тіл, що утворюється обертанням двох криволінійних трапецій навколо осі Оу. Одна з трапецій обмежена лініями х = 0, у = – 1, у =1, . Друга трапеція обмежена лініями – х = 0, у = – 1, у = 1,
Інакше кажучи, в данному прикладі тіло утворене обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої кривими і прямими , .
Тому за формулою (4.17) маємо
Інтеграл , оскільки він дорівнює площі півкола радіуса 1, тому
Зауваження.
1. Якщо тіло утворене обертанням навколо осі Ох або Оу кривої, заданої в параметричному вигляді, то в формулах (4.12) – (4.15) слід виконати відповідну заміну змінної.
2. Якщо тіло утворене обертанням навколо полярної осі криволінійного сектора, обмеженого кривою і променями , то об’єм тіла