Якщо криву задано рівняннями , де є неперервними функціями на відрізку , то довжина дуги цієї кривої, що міститься між прямими обчислюється за формулою (4.9)
Рис. 17
Приклад 4.9. Знайти довжину дуги кривої від точки А(1;2) до точки В (4;4).
Розв’язання.Рівняння кривої задано у декартовій системі координат. Функція є визначеною і неперервною разом із своєю похідною на відрізку . Тому можна застосувати формулу (4.9).
Рис. 18
Складемо вираз =
Приклад 4.10. Знайти довжину дуги кривої від точки з абсцисою до точки з абсцисою .
Розв’язання
Рис. 19
Знайдемо похідну
Обчислимо вираз
Застосуємо формулу (4.9)
Параметричне задання кривої
Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі
де x(t), y(t) є неперервно диференційованими функціями на відрізку , то довжина дуги кривої дорівнює
(4.10)
де – значення параметра , що відповідають кінцям дуги .
Приклад 4.11.Обчислити довжину дуги однієї арки циклоїди
Розв’язання. Циклоїду (рис. 12) задано в параметричній формі, тому скористаємось формулою (4.10). Продиференцюємо по параметричні рівняння циклоїди
і обчислимо підинтегральну функцію:
Одна арка утворюється при зміні параметра від 0 до . Отже . Маємо
Приклад 4.12. Знайти довжину дуги кривої
.
Розв’язання. Продиференцюємо по t параметричні рівняння кривої:
і обчислимо підинтегральну функцію:
Отже
Задання кривої в полярній системі координат
Якщо криву задано рівнянням в полярній системі координат, де функція є неперервна диференційованою на відрізку , то довжина дуги кривої дорівнює
(4.11)
де є значеннями кута на кінцях дуги .
Приклад 4.13. Знайти довжину кардіоїди
Розв’язання. Побудуємо графік кривої, рівняння якої задано у полярних координатах. Зазначимо, що у разі заміни на рівняння не змінюється. Отже крива розташована симетрично відносно полярної осі. Якщо змінюється від 0 до , то спадає від 6 до 0. Складемо таблицю значень аргументна і функції :
Рис. 20
Для обчислення довжини дуги застосуємо формулу (4.11).
тому
Кардіоїда симетрична відносно полярної осі, тому знайдемо довжину її верхньої половини і помножимо на 2. Оскільки
Маємо
Приклад 4.14. Знайти довжину дуги кривої
Розв’язання.
Зауваження. Формули (4.9), (4.10)., (4.11) можна об’єднати в одну