Кириченко І. К., доктор фізико-математичних наук, проф.,
завідувач кафедри вищої математики (УІПА)
Тарапова О. І., кандидат фізико-математичних наук,
доцент кафедри математичного аналізу
(ХНУ ім. В.Н. Каразіна)
Я 79
Ярхо Т.О.
Практикум з вищої математики. Визначений інтеграл та його застосування : навчально методичний порадник / Т.О. Ярхо, О.В. Небратенко, І.І. Мороз – Харків: ХНАДУ, 2011. – 88 с.
ISBN 978-966-303-379-2
Містить стисле викладання основних теоретичних положень за матеріалом модуля «Визначений інтеграл та його застосування» з наголошенням на змістовній частині понять та їх якісному уявленню. Розв’язання великої кількості прикладів, а також задач з геометричних та прикладних застосувань супроводжено докладними поясненнями. Наведено варіанти завдань типового розрахунку.
Призначено для поглибленої самостійної роботи студентів 1-го кусу всіх спеціальностей в умовах кредитно-модульної системи навчання.
Навчально-методичний порадник «Визначений інтеграл та його застосування» видається кафедрою вищої математики ХНАДУ в складі нещодавно відкритої серії навчально-методичних видань «Практикум з вищої математики». Цю серію розпочато відповідно до Цільової програми удосконалення фундаментальної підготовки в університеті. Навчально-методичні видання «Практикум з вищої математики» призначені для поглибленої самостійної підготовки студентів з практичної частини змістовних модулів курсу «Вища математика» в умовах кредитно-модульної системи навчання.
Даний порадник складено відповідно до робочих навчальних програм з дисципліни «Вища математика» (цільових, за вимогами кредитно-модульної системи навчання) для освітньо-кваліфікаційного рівня «Бакалавр». Порадник містить стисле викладання основних теоретичних положень за матеріалом модуля «Визначений інтеграл та його застосування» з наголошенням на змістовній частині понять та їх якісному уявленню.
Розв’язання великої кількості прикладів щодо обчислення визначених інтегралів, а також задач з геометричних та прикладних застосувань супроводжуються докладними поясненнями з аналізом правильності застосування на практиці теоретичних положень. Це формує вдумливий, неформальний підхід студентів до виконання практичних завдань. Останній розділ порадник містить 30 варіантів завдань для самостійної роботи – типового розрахунку з зазначеного модуля.
Порадник рекомендований студента 1-го курсу всіх спеціальностей денної і заочної форм навчання.
ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
Означення визначеного інтеграла
Нехай на відрізку [a,b] задано функцію f(x).
Виконаємо наступні операції з відрізком [a,b] і функцією f(x):
1) Розіб’ємо відрізок [a,b] на n довільних частин точками х1, х2,…, хn–1:
a<x1<x2<…<xn–1<b,
покладемо x0=a, xn=b.
2) В кожному з одержаних частинних відрізків
оберемо довільну точку :
і обчислимо значення функції в цій точці.
3) Знайдемо добуток на довжину відрізка
.
4) Складемо суму усіх одержаних добутків:
або
Сума називається інтегральною сумою функції f (x), що відповідає даному розбиттю відрізка [a,b] на частинні відрізкі і даному вибіру проміжкових точок .
5) Будемо подрібнювати розбиття відрізку [a,b], змушуючи найбільшу з довжин частинних відрізків прямувати до нуля.
Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми , коли , що не залежить ні від способу розбиття відрізку на частинні відрізки, ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку .
Позначення: .
(читається: інтеграл від а до b .
В цьому випадку функція f(x) називається інтегровною на відрізку .
Таким чином, за означенням .
Тут f(x) – підинтегральна функція;
f(x)dx – підинтигральний вираз;
x – змінна інтегрування;
– проміжок інтегрування;
a – нижня межа інтегрування;
b – верхня межа інтегрування.
Зауваження. З означення випливає, що визначений інтеграл є певним числом, яке однозначно визначається функцією і межами інтегрування а і b. Тому визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування: