Геометричний зміст визначеного інтеграла

Якщо функція є неперервною на відрізку то визначений інтеграл являє собою площу криволінійної тра­пеції – фігури, обмеженої лініями , (рис 1):

Якщо , то фігура, обмежена лініями (рис. 2) не є криволінійною трапецією. Площа цієї фігури дорівнює .

Тоді за формулою (4.1) маємо

Формули (4.1) і (4.2) можна об’єднати в одну:

(4.3)

Якщо функція на відрізку скінченне число разів змінює знак (рис. 3), то за формулою (4.3) маємо:

(4.4)

Приклад 4.1.Знайти площі фігур, обмежених даними лініями:

а) параболою прямими і віссю абсцис ;

б) параболою прямою і осями координат .

Розв’язання

а) Виконаємо (рис. 4).

Застосуємо формулу (4.1). Одержимо

б) Виконаємо рисунок (рис. 5).

Функція на відрізку змінює знак, а саме: Для знаход­ження шуканої площі S скористаємося формулою (4.4):

Якщо плоска фігура обмежена двома неперервними кривими і и двома вертикальними прямими (рис. 4), то її площа обчислюється за формулою (4.5):

. (4.5)

Приклад 4.2. Знайти площу фігури, обмеженої даними лініями:

.

Розв’язання. Для того, щоб обчислити площу заданої фігури, необхідно:

а) побудувати плоску фігуру, обмежену заданими лініями;

б) визначити межі інтегрування;

в) обчислити відповідний визначений інтеграл.

Рис. 7

Виконаємо рисунок (рис. 7). Рівняння верхньої лінії нижньої лінії Визначимо межі інтегру­вання. Для цього обчислимо абсциси точок перетину прямої і параболи .

.

За формулою (4.5):

Якщо плоска фігура має складнішу форму (рис. 8), то пря­мими, паралельними оси ОY, її треба розбити на скінчену суму фігур, площі яких знаходяться за формулою (4.5). Тоді площа S дорівнюватиме сумі знайдених площ фігур (на рис. 8 ).

Рис. 8

Приклад 4.3. Знайти площу фігури, обмеженої даними лініями:

Розв’язання

Рис. 9

Виконаємо рисунок (рис. 9). Знайдемо абсциси точок перетину ліній, що обмежують фігуру.

Лінії і перети­наються у точці (0;0).

Щоб знайти абсцису точки перетину ліній і , розв’яжемо рівняння

Отже абсциса точки перетину цих ліній x=4.

Абсциса точки перетину ліній і визначається з рівняння:

Запишемо рівняння верхньої ліній що обмежують фігуру:

Оскільки нижня лінія задається при різних значеннях х різними аналітичними виразами, розіб’ємо фігуру на дві частини прямою . Застосовуючи формулу (4.5), одержимо:

Якщо криволінійна трапеція обмежена лініями (рис. 10) то формула для обчислення її площі має вигляд (4.6):

Приклад 4.4. Знайти площу фігури, обмеженої лініями

Розв’язання. Виконаємо рисунок (рис. 11).

Поиск по сайту: