Метод заміни змінної (підстановки)

3.1.1. Підстановка

Теорема 1. Нехай потрібно обчислити інтеграл , f(x) є неперервною функцією на .

Якщо функція задовольняє наступні умови:

1. Функція та її похідна є неперервними функціями на відрізку .

2. При зміні t у проміжку значення функції не виходять за межі відрізка :

.

3.

то справедлива рівність

(3.1)

Ця формула називається формулою заміни змінної (підста­новки) у визначеному інтегралі.

Зауваження

1. Підкреслимо, що відповідно до теореми 1, у визначеному інтегралі крім безпосередньої заміни змінної інтегрування потрібно змінити також межі інтегрування. У зв’язку із цим відпадає необхід­ність повернення до первісної змінної, обов’язкового у випадку невизначеного інтеграла.

2. Нові межі інтегрування знаходяться наступним чином:

– нижня межа знаходиться як розв’язок рівняння відносно невідомого ;

– верхня межа знаходиться як розв’язок рівняння відносно .

Якщо функція не є монотонною, то може статися, що зазначені рівняння дадуть кілька різних пар і , які задоволь­няють умови теореми 1. В цьому випадку можна взяти будь-яку з таких пар.

3. Якщо користуватися формулою (3.1) при невиконанні будь-якої з умов 1–3 теореми 1, то можна одер­жати неправильний результат.

Приклад 3.1. Обчислити інтеграли

Розв’язання.

1) Обчислимо

Застосуємо підстановку .

Тоді . Визначимо нові межі інтегрування.

Якщо нижня межа , то .

З рівняння випливає , тобто .

Якщо верхня межа інтегрування , то . З рівняння випливає , тобто .

Переконаємось в законності цієї підстановки, перевіряючи виконання умов теореми 1.

1. Функція та її похідна є неперерв­ними на відрізку .

2. При зміні на проміжку значення функції не виходять за межі : .

3. При цьому ; .

Тепер заданий інтеграл зі змінною інтегрування х зведемо до інтеграла зі змінною t і виконаємо інтегрування:

2) Обчислимо .

Застосуємо тригонометричну підстановку:

.

Визначмо нові межі інтегрування.

Якщо нижня межа то , звідки тобто .

Якщо верхня межа то , звідки тобто .

Переконаємось у законності цієї підстановки.

1. Функція та її похідна є неперерв­ними на відрізку .

2. При зміні на проміжку значення функції не виходять за межі :

.

3. При цьому ;

Отже заданий інтеграл зі змінною інтегрування х зведемо до інтеграла зі змінною і виконаємо інтегрування:

.

3) Обчислимо .

В цьому прикладі обґрунтування законності застосування під­становки слід провести самостійно.

3.1.2. Підстановка

Часто застосовують також підстановку . У цьому випадку нові межі інтегрування визначаються безпосередньо: . Слід мати на увазі, що функція , обернена до функції , має задовольняти всі умови теореми 1.

Приклад 3.2. Обчислити інтеграли

2) ; 3) .

Розв’язання

1) Обчислимо

Виконаємо підстановку (заміну змінної): . Нові межі інтегрування визначаються так: .

Нова змінна .

Дійсно, якщо , то (в силу моно­тонного зростання функції . Тобто .

Функція обернення до функції та її похідна є неперервними на відрізку . Отже умови теореми 1 дотримані.

Інтегруючи одержуємо:

2) Обчислимо .

Застосуємо підстановку (заміну змінної) .

Визначимо нові межі інтегрування: .

Нова змінна . Дійсно, якщо то (в силу монотонного зростання функції ), тобто

Функція , обернена до функції , та її похідна є неперервними на відрізку . Отже умови теореми 1 дотримані. Переходячи до нової змінної, знайдемо:

3) Обчислимо .

В цьому прикладі обґрунтування законності застосування підстановки слід провести самостійно.

Поиск по сайту: