Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою з параметричними рівняннями
де є неперервними функціями на відрізку , обчислюється за формулою
(4.7)
Межі інтегрування і знаходяться як корні рівнянь:
Приклад 4.5. Знайти площу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди
Розв’язання: Першу арку циклоїди матимемо при зміні параметра t від 0 до . Складемо таблицю значень і :
t
x
0,16
1,14
3,3
6,28
9,26
11,42
12,40
12,56
y
0,59
3,41
3,41
0,59
За знайденими значеннями побудуємо криву
Рис. 12
Скористуємось формулою (4.7).
Приклад 4.6. Знайти площу фігури, обмеженої кривою
Розв’язання. Дослідимо криву. Оскільки , то криву розташовано симетрично відносно осі Ох.
Складемо таблицю значень t, x, y.
t
–2
–1
x
–3
–3
y
–6
При
При
Побудуємо криву за знайденими значеннями.
Рис. 13
Площа петлі одержаної кривої
Задання кривої в полярній системі координат
Площа криволінійного сектора (рис. 14), обмеженого дугою кривої , де – неперервна функція, а також відрізками променів у полярних координатах виражається формулою (4.8):
A
(4.8)
Рис. 14
Приклад 4.7. Знайти площу фігури, обмеженої лемніскатою Бернуллі: .
Розв’язання. Оскільки , то . Знайдемо ті значення , для яких виконується ця нерівність.
.
При
при
при – зроблено повний зворот, і значення функції повторюються.
Отже
Складемо таблицю значень для ( як відстань від точки кривої до полюса):
2,52
2,12
Побудуємо графік кривої, враховуючи симетрію відносно координатних осей (в силу парності та – періодичності функції ):
Рис. 15
Приклад 4.8. Знайти площу фігури, обмеженої чотирипелюстковою розою
Розв’язання
Рис. 16
Знайдемо такі значення кута , за яких крива існує. Оскільки – це відстань від точки кривої до полюса, то . Тому
При:
– зроблено повний зворот, і значення функції повторюється.
Функція зростає, коли , і спадає, коли .
Функція має період . Тому крива у кожному з проміжков одержується з кривої, розташованої у зворотом на , відповідно. Виконаємо рисунок (рис. 16). Щоб знайти площу фігури, яка обмежена кривою, , достатньо обчислити площу пелюстка, розташованого в , а потім цей результат помножити на 4.